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Linéarité de la moyenne - Exercice 1

5 min
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Question 1
Adam a obtenu 1010 au rattrapage du dernier devoir de mathématiques, qu’il n’avait pu faire. La moyenne des 2727 autres élèves est de 88.

Calculez la moyenne de la classe. Donnez un arrondi à 10−210^{-2} près.

Correction
La moyenne x‾\overline{x} d’une série de valeurs connaissant la moyenne m1m_1 d’un sous-groupe d’effectif N1N_1 et la moyenne m2m_2 d’un sous-groupe d’effectif N2N_2 est égale à :
x‾=m1×N1+m2×N2N1+N2\overline{x}=\frac{m_{1} \times N_{1} +m_{2} \times N_{2} }{N_{1} +N_{2} }
Dans notre situation :
  • pour le premier sous-groupe nous avons : m1=10m_{1}=10 et N1=1N_{1}=1
  • pour le deuxième sous-groupe nous avons : m2=8m_{2}=8 et N2=27N_{2}=27
    • Il vient alors que :
    x‾=m1×N1+m2×N2N1+N2\overline{x}=\frac{m_{1} \times N_{1} +m_{2} \times N_{2} }{N_{1} +N_{2} }
    x‾=10×1+8×271+27\overline{x}=\frac{10\times 1+8\times 27}{1+27}
    Ainsi :
    x‾≈8,07\overline{x}\approx8,07

    La moyenne de ce devoir de mathématiques est alors de 8,078,07 sur 2020.
    Question 2

    Pour remonter la moyenne de la classe, le professeur remonte toutes les notes de 1,51,5. Quelle est alors la nouvelle moyenne de la classe ?

    Correction
    Lineˊariteˊ de la moyenne\text{\red{Linéarité de la moyenne}}
    Si un nombre b{\color{blue}{b}} est ajouté à toutes les valeurs d'une série de statistique de moyenne moyenne x‾\overline{x} alors la nouvelle moyenne a pour valeur moyenne x‾+b\overline{x}+{\color{blue}{b}} .
    D'après la question 11, nous savons que x‾≈8,07\overline{x}\approx8,07.
    Le professeur remonte toutes les notes de 1,51,5, on note b=1,5{\color{blue}{b=1,5}}.
    La nouvelle moyenne de la classe est alors :
    x‾+b=8,07+1,5\overline{x}+{\color{blue}{b}}=8,07+1,5
    Ainsi :
    x‾+b=9,57\overline{x}+{\color{blue}{b}}=9,57

    La nouvelle moyenne de la classe est alors 9,579,57 .