Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Le point $$A\left(32;63\right)$$ appartient à la droite $$d$$ si et seulement si $$2x_{A}-1=y_{A}$$.
Soit :
$$2x_{A}-1=2\times32-1$$
$$2x_{A}-1=64-1$$
$$2x_{A}-1=63$$

Finalement, le point $$A\left(32;63\right)$$ appartient bien à la droite $$d$$ ?

Nous savons que la droite $$\left(d'\right)$$ admet comme équation $$y=-x+2$$ et le coefficient directeur vaut $$-1$$.
La droite $$\left(D\right)$$ recherchée a comme équation $$y=ax+b$$ et nous savons que $$\left(D\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ sont parallèles. Il en résulte donc que $$a=-1$$.
Ainsi : $$y=-x+b$$
Nous savons que le point $$B\left(-7;10\right)$$ appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que $$y_{B}=-x_{B}+b$$.
Il vient alors que :
$$10=-\left(-7\right)+b$$ équivaut successivement à :
$$-\left(-7\right)+b=10$$
$$7+b=10$$
$$b=10-7$$

Finalement, l'expression de la droite $$\left(D\right)$$ parallèles à $$\left(d'\right)$$ passant par le point $$B\left(-7;10\right)$$ est :

Nous savons que les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ont comme équations respectives $$d:y=2x-1$$ et $$d':y=-x+2$$.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite $$\left(d\right)$$ vaut $$2$$ alors que celui de la droite $$\left(d'\right)$$ vaut $$-1$$. Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {y} & {=} & {-x+2} \end{array}\right.$$ . Nous allons remplacer le $$y$$ de la deuxième ligne par la valeur du $$y$$ de la première ligne, ce qui donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {2x-1} & {=} & {-x+2} \end{array}\right.$$ . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {2x+x} & {=} & {2+1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {3x} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {x} & {=} & {\frac{3}{3}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse $$x$$ du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée $$y$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2\times1-1} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ est le point que l'on note $$I\left(1;1\right)$$