Signe d'un quotient et fonctions homographiques (inéquations) - Exercice 1

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$3x-6=0\Leftrightarrow 3x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{3}=2$$
Soit $$x\mapsto 3x-6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$2x+14=0\Leftrightarrow 2x=-14\Leftrightarrow x=\frac{-14}{2}=-7$$ . Attention, ici $$x=-7$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 2x+14$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+14$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-7$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-7$$ est une valeur interdite)
Nous voulons résoudre l'inéquation $$\frac{3x-6}{2x+14}\ge0$$. Ainsi : . (Nous avons ouvert le crochet à $$-7$$ car c'est la valeur interdite.)

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$2x-8=0\Leftrightarrow 2x=8\Leftrightarrow x=\frac{8}{2}=4$$
Soit $$x\mapsto 2x-8$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-8$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x+27=0\Leftrightarrow 3x=-27\Leftrightarrow x=\frac{-27}{3}=-9$$ . Attention, ici $$x=-9$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 3x+27$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x+27$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-9$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-9$$ est une valeur interdite)
Nous voulons résoudre l'inéquation $$\frac{2x-8}{3x+27}\le0$$. Ainsi : . (Nous avons ouvert le crochet à $$-9$$ car c'est la valeur interdite.)

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-3x+2=0\Leftrightarrow -3x=-2\Leftrightarrow x=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$$
Soit $$x\mapsto -3x+2$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-3<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-3x+2$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{2}{3}$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$5x-1=0\Leftrightarrow 5x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}$$ . Attention, ici $$x=\frac{1}{5}$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 5x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{1}{5}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=\frac{1}{5}$$ est une valeur interdite)
Nous voulons résoudre l'inéquation $$\frac{-3x+2}{5x-1}<0$$. Ainsi : .