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Equations et inéquations
Savoir résoudre une inéquation du premier degré - Exercice 3
20 min
40
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.
Question 1
15
−
5
x
≥
0
15-5x\ge0
15
−
5
x
≥
0
Correction
−
5
x
≥
−
15
-5x\ge -15
−
5
x
≥
−
15
x
≤
−
15
−
5
x\red{\le }\frac{-15}{-5}
x
≤
−
5
−
15
.
Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par
−
5
-5
−
5
qui est un nombre négatif.
x
≤
3
x\le 3
x
≤
3
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S
=
]
−
∞
;
3
]
S=\left]-\infty ;3\right]
S
=
]
−
∞
;
3
]
Question 2
x
−
5
<
7
x
+
2
x-5<7x+2
x
−
5
<
7
x
+
2
Correction
x
−
5
<
7
x
+
2
x-5<7x+2
x
−
5
<
7
x
+
2
équivaut successivement à :
x
<
7
x
+
2
+
5
x<7x+2+5
x
<
7
x
+
2
+
5
x
<
7
x
+
7
x<7x+7
x
<
7
x
+
7
x
−
7
x
<
7
x-7x<7
x
−
7
x
<
7
−
6
x
<
7
-6x<7
−
6
x
<
7
x
>
7
−
6
x\red{>}\frac{7}{-6}
x
>
−
6
7
\;\;\;
Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par
−
6
-6
−
6
qui est un nombre négatif.
x
>
−
7
6
x>-\frac{7}{6}
x
>
−
6
7
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S
=
]
−
7
6
;
+
∞
[
S=\left] -\frac{7}{6};+\infty \right[
S
=
]
−
6
7
;
+
∞
[
Question 3
4
x
+
4
<
8
x
+
20
4x+4<8x+20
4
x
+
4
<
8
x
+
20
Correction
4
x
+
4
<
8
x
+
20
4x+4<8x+20
4
x
+
4
<
8
x
+
20
équivaut successivement à :
4
x
<
8
x
+
20
−
4
4x<8x+20-4
4
x
<
8
x
+
20
−
4
4
x
<
8
x
+
16
4x<8x+16
4
x
<
8
x
+
16
4
x
−
8
x
<
16
4x-8x<16
4
x
−
8
x
<
16
−
4
x
<
16
-4x<16
−
4
x
<
16
x
>
16
−
4
x\red{>}\frac{16}{-4}
x
>
−
4
16
\;\;\;
Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par
−
4
-4
−
4
qui est un nombre négatif.
x
>
−
4
x>-4
x
>
−
4
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S
=
]
−
4
;
+
∞
[
S=\left]-4;+\infty \right[
S
=
]
−
4
;
+
∞
[
Question 4
x
+
3
≤
4
(
2
x
+
5
)
x+3\le 4\left(2x+5\right)
x
+
3
≤
4
(
2
x
+
5
)
Correction
x
+
3
≤
4
(
2
x
+
5
)
x+3\le 4\left(2x+5\right)
x
+
3
≤
4
(
2
x
+
5
)
équivaut successivement à :
x
+
3
≤
8
x
+
20
x+3\le 8x+20
x
+
3
≤
8
x
+
20
x
−
8
x
≤
20
−
3
x-8x\le 20-3
x
−
8
x
≤
20
−
3
−
7
x
≤
17
-7x\le 17
−
7
x
≤
17
x
≥
17
−
7
x\red{\ge} \frac{17}{-7}
x
≥
−
7
17
\;\;\;
Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par
−
7
-7
−
7
qui est un nombre négatif.
x
≥
−
17
7
x\ge -\frac{17}{7}
x
≥
−
7
17
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S
=
[
−
17
7
;
+
∞
[
S=\left[-\frac{17}{7};+\infty \right[
S
=
[
−
7
17
;
+
∞
[
Question 5
−
63
5
x
≥
8
5
x
−
5
−
4
+
77
15
-\frac{63}{5}x\ge \frac{8}{5}x-5-4+\frac{77}{15}
−
5
63
x
≥
5
8
x
−
5
−
4
+
15
77
Correction
−
63
5
x
≥
8
5
x
−
5
−
4
+
77
15
-\frac{63}{5}x\ge \frac{8}{5}x-5-4+\frac{77}{15}
−
5
63
x
≥
5
8
x
−
5
−
4
+
15
77
équivaut successivement à :
−
63
5
x
≥
8
5
x
−
9
+
77
15
-\frac{63}{5}x\ge \frac{8}{5}x-9+\frac{77}{15}
−
5
63
x
≥
5
8
x
−
9
+
15
77
−
63
5
x
−
8
5
x
≥
−
9
+
77
15
-\frac{63}{5}x-\frac{8}{5}x\ge -9+\frac{77}{15}
−
5
63
x
−
5
8
x
≥
−
9
+
15
77
−
71
5
x
≥
−
9
+
77
15
-\frac{71}{5}x\ge -9+\frac{77}{15}
−
5
71
x
≥
−
9
+
15
77
−
71
5
x
≥
−
135
15
+
77
15
-\frac{71}{5}x\ge -\frac{135}{15}+\frac{77}{15}
−
5
71
x
≥
−
15
135
+
15
77
−
71
5
x
≥
−
58
15
-\frac{71}{5}x\ge -\frac{58}{15}
−
5
71
x
≥
−
15
58
−
71
×
3
5
×
3
x
≥
−
58
15
-\frac{71\times3}{5\times3}x\ge -\frac{58}{15}
−
5
×
3
71
×
3
x
≥
−
15
58
−
213
15
x
≥
−
58
15
-\frac{213}{15}x\ge -\frac{58}{15}
−
15
213
x
≥
−
15
58
.
Si
c
c
c
est un réel positif non nul alors
a
c
+
b
c
≤
d
c
⇔
a
+
b
≤
d
\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d
c
a
+
c
b
≤
c
d
⇔
a
+
b
≤
d
.
Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques et positifs alors on peut les "enlever" .
Ainsi :
−
213
x
≥
−
58
-213x\ge -58
−
213
x
≥
−
58
x
≤
−
58
−
213
x\red{\le} \frac{-58}{-213}
x
≤
−
213
−
58
.
Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par
−
213
-213
−
213
qui est un nombre négatif.
x
≤
58
213
x\le \frac{58}{213}
x
≤
213
58
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S
=
]
−
∞
;
58
213
]
S=\left]-\infty ;\frac{58}{213} \right]
S
=
]
−
∞
;
213
58
]