On se place dans le repère orthonormal (0;i;j) On donne les points A(−2;4), B(2;2) , C(−5;0) et D(3;−4).
Question 1
Montrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Correction
AB(xB−xAyB−yA) soit AB(4−2) CD(xD−xCyD−yC) soit CD(8−4) De plus, 4×(−4)−(−2)×8=0 Les vecteurs AB et CD sont donc bien colinéaires.
Question 2
Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABDC ?
Correction
Le quadrilatère ABDC a donc ses deux cotés [AB] et [CD] qui sont parallèles, c'est donc un trapèze.
Question 3
Déterminer une équation cartésienne de la droite (BD).
Correction
Nous allons calculer le vecteur BD qui sera un vecteur directeur de la droite (BD). BD(xD−xByD−yB) soit BD(1−6) BD(1−6) étant un vecteur directeur de la droite (BD), on en déduit que : b=−1 et a=−6. Ainsi , on a : −6x−y+c=0. Or le point B(2;2) appartient à la droite (BD), donc les coordonnées du point B(2;2) vérifie −6x−y+c=0. Il vient alors que : −6xB−yB+c=0 −6×2−2+c=0 −12−2+c=0 −14+c=0 c=14 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (BD) est : −6x−y+14=0.
Question 4
Trouver une équation cartésienne de la droite (AC).
Correction
Nous allons calculer le vecteur AC qui sera un vecteur directeur de la droite (AC). AC(xC−xAyC−yA) soit AC(−3−4) AC(−3−4) étant un vecteur directeur de la droite (AC), on en déduit que : b=3 et a=−4. Ainsi, on a : −4x+3y+c=0. Or le point A(−2;4) appartient à la droite (AC), donc les coordonnées du point A(−2;4) vérifie −4x+3y+c=0. Il vient alors que : −4xA+3yA+c=0 −4×(−2)+3×4+c=0 8+12+c=0 20+c=0 c=−20 Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AC) est : −4x+3y−20=0.
Question 5
Soit le point E(1;8).
Montrer que le point E appartient à la droite (BD) et à la droite (AC).
Correction
D’une part : On regarde si les coordonnées du point E vérifient l'équation de la droite (BD). −6xE−yE+14=−6×1−8+14 −6xE−yE+14=0 Donc le point E appartient à la droite (BD). D’autre part : On regarde si les coordonnées du point E vérifient l'équation de la droite (AC). −4xE+3yE−20=−4×1+3×8−20 −4xE+3yE−20=0 Donc le point E appartient à la droite (AC).
Question 6
K est le milieu du segment [AB] et L le milieu du segment[CD].
Montrer que les points E, K et L sont alignés.
Correction
K est le milieu du segment [AB] d'où : xK=2xA+xB et yK=2yA+yB . Ainsi : xK=0 et yK=3. Donc K(0;3)
L est le milieu du segment [CD] d'où : xL=2xC+xD et yL=2yC+yD . Ainsi : xL=−1 et yL=−2. Donc L(−1;−2)
Calculons les coordonnées des vecteurs EL et EK. On a : EL(xL−xEyL−yE) soit EL(−2−10) EK(xK−xEyK−yE) soit EK(−1−5) On remarque que : EL=2×EK. Il vient alors que les vecteurs EL et EK sont colinéaires, donc que les points E, K et L sont alignés.
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