Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Les coordonnées du milieu $$K$$ de $$\left[AB\right]$$ sont : $$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$$ et $$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$$.
Soit $$x_{K} =\frac{7}{2}$$ et $$y_{K} =2$$.
Les coordonnées de $$K$$ sont alors $$K\left(\frac{7}{2} ;2\right)$$.

La médiane du triangle $$ABC$$ passant par $$C$$ correspond à la droite $$\left(KC\right)$$.
Ainsi un vecteur directeur de la médiane $$\left(d_{1} \right)$$ du triangle $$ABC$$ passant par $$C$$ est le vecteur $$\overrightarrow{KC}$$.
Soit $$\overrightarrow{KC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{K} } \\ {y_{C} -y_{K} } \end{array}\right)$$ c'est-à-dire : $$\overrightarrow{KC} \left(\begin{array}{c} {\frac{9}{2} } \\ {-6} \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{KC} \left(\begin{array}{c} {\frac{9}{2} } \\ {-6} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$, on en déduit que : $$b=-\frac{9}{2}$$ et $$a=-6$$.
Ainsi, on a : $$-6x-\frac{9}{2} y+c=0$$.
Or le point $$C\left(8;-4\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{1} \right)$$, donc les coordonnées du point $$C\left(8;-4\right)$$ vérifie $$-6x-\frac{9}{2} y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-6x_{C} -\frac{9}{2} y_{C} +c=0$$
$$-6\times 8-\frac{9}{2} \times \left(-4\right)+c=0$$
$$-48+18+c=0$$
$$-30+c=0$$
$$c=30$$
L'équation cartésienne de la médiane $$\left(d_{1} \right)$$ du triangle $$ABC$$ passant par $$C$$ est :
$$-6x-\frac{9}{2} y+30=0$$

Les coordonnées du milieu $$I$$ de $$\left[BC\right]$$ sont : $$x_{I} =\frac{x_{B} +x_{C} }{2}$$ et $$y_{I} =\frac{y_{B} +y_{C} }{2}$$.
Soit $$x_{I} =7$$ et $$y_{I} =0$$.
Les coordonnées de $$I$$ sont alors $$I\left(7;0\right)$$.
La médiane du triangle $$ABC$$ passant par $$A$$ correspond à la droite $$\left(AI\right)$$.
Ainsi un vecteur directeur de la médiane $$\left(d_{2} \right)$$ du triangle $$ABC$$ passant par $$A$$ est le vecteur $$\vec{AI}$$.
Soit $$\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {x_{I} -x_{A} } \\ {y_{I} -y_{A} } \end{array}\right)$$ c'est-à-dire : $$\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {0} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$, on en déduit que : $$b=-6$$ et $$a=0$$.
Ainsi , on a : $$-6y+c=0$$.
Or le point $$I\left(7;0\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{2} \right)$$, donc les coordonnées du point $$I\left(7;0\right)$$ vérifie $$-6y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-6y_{I} +c=0$$
$$-6\times 0+c=0$$
$$c=0$$
L'équation cartésienne de la médiane $$\left(d_{2} \right)$$ du triangle $$ABC$$ passant par $$A$$ est : $$-6y=0$$ c'est-à-dire $$y=0$$

On cherche alors les coordonnées du point d'intersection de $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
Il faut donc résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-6x} & {-} & {\frac{9}{2} y} & {+} & {30} & {=} & {0} \\ {} & {} & {y} & {} & {} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
On remplace dans la $$1$$^ère ligne la valeur de $$y=0$$.
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-6x} & {-} & {\frac{9}{2} \times 0} & {+} & {30} & {=} & {0} \\ {} & {} & {y} & {} & {} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-6x+30} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {5} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du centre de gravité de ce triangle sont alors : $$\left(5;0\right)$$