Equations cartésienne d'une droite : Savoir manipuler un vecteur directeur d'une droite - Exercice 4

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-1} \\ {7-4} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $$b=-1$$ et $$a=3$$.
Ainsi , on a : $$3x-y+c=0$$.
Or le point $$B\left(2;7\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$B\left(2;7\right)$$ vérifie $$3x-y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$3x_{B} -y_{B} +c=0$$
$$3\times 2-7+c=0$$
$$6-7+c=0$$
$$-1+c=0$$
$$c=1$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$3x-y+1=0$$.

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\vec{AB} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {14-4} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {10} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {10} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $$b=-2$$ et $$a=10$$.
Ainsi , on a : $$10x-2y+c=0$$.
Or le point $$A\left(2;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(2;4\right)$$ vérifie $$10x-2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$10x_{A} -2y_{A} +c=0$$
$$10\times 2-2\times 4+c=0$$
$$20-8+c=0$$
$$12+c=0$$
$$c=-12$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$10x-2y-12=0$$.
Nous pouvons diviser ici tous les termes par $$2$$ afin d'avoir une écriture plus simple.
La droite $$\left(AB\right)$$ s'écrirait : $$5x-y-6=0$$

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(AB\right)$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-1} \\ {13-5} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {8} \end{array}\right)$$
$$\vec{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {8} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(AB\right)$$, on en déduit que : $$b=-4$$ et $$a=8$$.
Ainsi , on a : $$8x-4y+c=0$$.
Or le point $$A\left(1;5\right)$$ appartient à la droite $$\left(AB\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(1;5\right)$$ vérifie $$8x-4y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$8x_{A} -4y_{A} +c=0$$
$$8\times 1-4\times 5+c=0$$
$$8-20+c=0$$
$$-12+c=0$$
$$c=12$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AB\right)$$ est : $$8x-4y+12=0$$.
Nous pouvons diviser ici tous les termes par $$4$$ afin d'avoir une écriture plus simple.
La droite $$\left(AB\right)$$ s'écrirait : $$2x-y+3=0$$