Droites parallèles - Exercice 2

On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Comme les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de $$\left(d_{2} \right)$$ identique à celui de $$\left(d_{1} \right)$$.
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.

Nous avons donc choisi $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \end{array}\right)$$ comme vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.
Ainsi l'équation cartésienne de $$\left(d_{2} \right)$$ est : $$6x+4y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-1;0\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{2} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-1;0\right)$$ vérifie $$6x+4y+c=0$$
Il vient alors que :
$$6x_{A} +4y_{A} +c=0$$
$$6\times \left(-1\right)+4\times 0+c=0$$
$$-6+c=0$$
$$c=6$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{2} \right)$$ parallèle à $$\left(d_{1} \right)$$ et passant par $$A\left(-1;0\right)$$ est : $$6x+4y+6=0$$

On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Comme les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de $$\left(d_{2} \right)$$ identique à celui de $$\left(d_{1} \right)$$.
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.

Nous avons donc choisi $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)$$ comme vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.
Ainsi l'équation cartésienne de $$\left(d_{2} \right)$$ est : $$-x-3y+c=0$$.
Or le point $$A\left(2;-4\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{2} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(2;-4\right)$$ vérifie $$-x-3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-x_{A} -3y_{A} +c=0$$
$$-2-3\times \left(-4\right)+c=0$$
$$-2+12+c=0$$
$$10+c=0$$
$$c=-10$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{2} \right)$$ parallèle à $$\left(d_{1} \right)$$ et passant par $$A\left(2;-4\right)$$ est : $$-x-3y-10=0$$.

On sait que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires.
Soit $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Comme les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{3} \right)$$ sont parallèles alors on choisit un vecteur directeur de $$\left(d_{3} \right)$$ identique à celui de $$\left(d_{1} \right)$$.
Ainsi les deux vecteurs directeurs seront bien colinéaires.
On note $$\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{3} \right)$$.

Nous avons donc choisi $$\overrightarrow{u_{3} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$$ comme vecteur de la droite $$\left(d_{3} \right)$$.
Ainsi l'équation cartésienne de $$\left(d_{3} \right)$$ est : $$-x-y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-1;3\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{3} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-1;3\right)$$ vérifie $$-x-y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-x_{A} -y_{A} +c=0$$
$$1-3+c=0$$
$$-2+c=0$$
$$c=2$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{3} \right)$$ parallèle à $$\left(d_{1} \right)$$ et passant par $$A\left(-1;3\right)$$ est : $$-x-y+2=0$$.

Soit $$\vec{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-m} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{1} \right)$$.
Soit $$\vec{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {2} \end{array}\right)$$ un vecteur de la droite $$\left(d_{2} \right)$$.
Pour que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ soient parallèles, il faut que leurs vecteurs directeurs respectifs soient colinéaires.
Ainsi :
$$\left(-m\right)\times 2-\left(-1\right)\times \left(-4\right)=0$$
$$-2m-4=0$$
$$-2m=4$$
$$m=\frac{4}{-2}$$
$$m=-2.$$
Si $$m=-2$$ alors les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont bien parallèles.