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Ce qu'il faut savoir sur les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres

Les nombres entiers naturels

Définition 1 :
  • N={0,1,2,3,4,5,…}\mathbb{N}=\left\{0,1,2,3,4,5,\ldots \right\} est l'ensemble des entiers naturels. Il s'agit des entiers positifs.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}} 23∈N23\in \mathbb{N}     \;\;; −3∉N-3\notin \mathbb{N}    \;\;; 102=5∈N\frac{10}{2}=5\in \mathbb{N}    \;\;; 132=5,5∉N\frac{13}{2}=5,5\notin \mathbb{N}

Les nombres entiers relatifs

Définition 2 :
  • Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \right\} est l'ensemble des entiers relatifs. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}} 15∈Z15\in \mathbb{Z}     \;\;; −6∈Z-6\in \mathbb{Z}    \;\;; −306=−5∈Z-\frac{30}{6}=-5\in \mathbb{Z}    \;\;; 72=3,5∉Z\frac{7}{2}=3,5\notin \mathbb{Z}
Définition 3 :
  • L’ensemble N\mathbb{N} est contenu (ou inclus) dans Z\mathbb{Z}, ce que l’on note « N⊂Z\mathbb{N}\subset \mathbb{Z} »

Les nombres décimaux

Définition 4 :
  • L'ensemble des nombres décimaux sont les nombres de la forme a10n\frac{a}{10^{n}}, où aa est un entier et nn un entier naturel.
  • Autrement dit, ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D\mathbb{D}.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}} 4∈D4\in \mathbb{D}     \;\;; 13∉D\frac{1}{3}\notin \mathbb{D} car 13≈0,333333333......\frac{1}{3}\approx0,333333333......     \;\;; 94=2,25∈D\frac{9}{4}=2,25\in \mathbb{D}    \;\;; 132=6,5∈D\frac{13}{2}=6,5\in \mathbb{D}
Définition 5 :
  • Les ensembles N\mathbb{N} et Z\mathbb{Z} sont contenus (ou inclus) dans D\mathbb{D}, ce que l’on note « N⊂Z⊂D\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D} »

Les nombres entiers rationnels

Définition 6 :
  • On rappelle que Q\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels de la forme ab\frac{a}{b} où aa est un entier relatif et bb est un entier relatif non nul.
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • −73\frac{-7}{3} est de la forme ab\frac{a}{b} où a=−7a=-7 est un entier relatif et b=3b=3 est un entier relatif, ainsi : −73∈Q\frac{-7}{3}\in \mathbb{Q}
  • 3,1=31103,1=\frac{31}{10} est de la forme ab\frac{a}{b} où a=31a=31 est un entier relatif et b=10b=10 est un entier relatif, ainsi : 3,1=3110∈Q3,1=\frac{31}{10}\in \mathbb{Q}
  • 23∉Q\frac{\sqrt{2}}{3}\notin \mathbb{Q} car a=2a=\sqrt{2} n'est pas un entier relatif . En effet, 2≈1,41421....\sqrt{2}\approx1,41421....
    • Définition 7 :
    • Les ensembles N\mathbb{N} ; Z\mathbb{Z} et D\mathbb{D} sont contenus (ou inclus) dans Q\mathbb{Q}, ce que l’on note « N⊂Z⊂D⊂Q\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q} »

    Les nombres réels

    Définition 8 :
    • L’ensemble de tous les nombres que nous verrons en seconde appartiennent à l’ensemble des nombres réels noté R\mathbb{R}.
    Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • Par exemple, les nombres 44 ; 12\frac{1}{2} ; 3\sqrt{3} et π\pi appartiennent à l'ensemble des réels.
    • Définition 9 :
    • Les ensembles N\mathbb{N} ; Z\mathbb{Z} ; D\mathbb{D} et Q\mathbb{Q} sont contenus (ou inclus) dans R\mathbb{R}, ce que l’on note « N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} »

    BILAN

    Ce qu’il faut retenir :\pink{\text{Ce qu'il faut retenir :}}