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Seconde
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Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées
Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 8
15 min
30
Écrire sous la forme
a
b
a\sqrt{b}
a
b
, où
a
a
a
et
b
b
b
sont deux entiers positifs,
b
b
b
étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1
A
=
(
11
+
2
2
)
2
A= (\sqrt{11}+2\sqrt{2})^{2}
A
=
(
11
+
2
2
)
2
Correction
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
A
=
(
11
+
2
2
)
2
A= (\sqrt{11}+2\sqrt{2})^{2}
A
=
(
11
+
2
2
)
2
équivaut successivement à :
A
=
(
11
)
2
+
2
×
11
×
2
2
+
(
2
2
)
2
A= (\sqrt{11})^{2}+2\times \sqrt{11}\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}
A
=
(
11
)
2
+
2
×
11
×
2
2
+
(
2
2
)
2
A
=
11
+
4
11
×
2
+
2
2
×
2
2
A=11+4\sqrt{11\times 2}+2^{2}\times \sqrt{2}^{2}
A
=
11
+
4
11
×
2
+
2
2
×
2
2
A
=
11
+
4
22
+
8
A=11+4\sqrt{22}+8
A
=
11
+
4
22
+
8
A
=
19
+
4
22
A=19+4\sqrt{22}
A
=
19
+
4
22
Question 2
B
=
(
2
3
−
4
6
)
2
B= (2\sqrt{3}-4\sqrt{6})^{2}
B
=
(
2
3
−
4
6
)
2
Correction
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
B
=
(
2
3
−
4
6
)
2
B= (2\sqrt{3}-4\sqrt{6})^{2}
B
=
(
2
3
−
4
6
)
2
équivaut successivement à :
B
=
(
2
3
)
2
−
2
×
2
3
×
4
6
+
(
4
6
)
2
B= (2\sqrt{3})^{2}-2\times 2\sqrt{3}\times 4\sqrt{6}+(4\sqrt{6})^{2}
B
=
(
2
3
)
2
−
2
×
2
3
×
4
6
+
(
4
6
)
2
B
=
2
2
×
3
2
−
2
×
2
×
4
3
×
6
+
4
2
×
6
2
B=2^{2}\times\sqrt{3}^{2}-2\times2\times4\sqrt{3\times 6}+4^{2}\times\sqrt{6}^{2}
B
=
2
2
×
3
2
−
2
×
2
×
4
3
×
6
+
4
2
×
6
2
B
=
4
×
3
−
16
18
+
16
×
6
B=4\times3-16\sqrt{18}+16\times6
B
=
4
×
3
−
16
18
+
16
×
6
B
=
12
−
16
18
+
96
B=12-16\sqrt{18}+96
B
=
12
−
16
18
+
96
B
=
108
−
16
18
B=108-16\sqrt{18}
B
=
108
−
16
18
B
=
108
−
16
9
×
2
B=108-16\sqrt{9\times 2}
B
=
108
−
16
9
×
2
B
=
108
−
16
×
9
×
2
B=108-16\times \sqrt{9}\times \sqrt{2}
B
=
108
−
16
×
9
×
2
B
=
108
−
16
×
3
×
2
B=108-16\times 3\times \sqrt{2}
B
=
108
−
16
×
3
×
2
Ainsi :
B
=
108
−
48
2
B=108-48\sqrt{2}
B
=
108
−
48
2
Question 3
C
=
(
3
5
−
2
6
)
2
C= (3\sqrt{5}-2\sqrt{6})^{2}
C
=
(
3
5
−
2
6
)
2
Correction
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
C
=
(
3
5
−
2
6
)
2
C= (3\sqrt{5}-2\sqrt{6})^{2}
C
=
(
3
5
−
2
6
)
2
équivaut successivement à :
C
=
(
3
5
)
2
−
2
×
3
5
×
2
6
+
(
2
6
)
2
C= (3\sqrt{5})^{2}-2\times 3\sqrt{5}\times 2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^{2}
C
=
(
3
5
)
2
−
2
×
3
5
×
2
6
+
(
2
6
)
2
C
=
3
2
×
5
2
−
2
×
3
×
2
5
×
6
+
2
2
×
6
2
C=3^{2}\times\sqrt{5}^{2}-2\times3\times2\sqrt{5\times 6}+2^{2}\times\sqrt{6}^{2}
C
=
3
2
×
5
2
−
2
×
3
×
2
5
×
6
+
2
2
×
6
2
C
=
9
×
5
−
12
30
+
4
×
6
C=9\times5-12\sqrt{30}+4\times6
C
=
9
×
5
−
12
30
+
4
×
6
C
=
45
−
12
30
+
24
C=45-12\sqrt{30}+24
C
=
45
−
12
30
+
24
C
=
69
−
12
30
C=69-12\sqrt{30}
C
=
69
−
12
30
Question 4
D
=
(
5
3
−
2
4
)
(
5
3
+
2
4
)
D= (5\sqrt{3}-2\sqrt{4})(5\sqrt{3}+2\sqrt{4})
D
=
(
5
3
−
2
4
)
(
5
3
+
2
4
)
Correction
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
D
=
(
5
3
−
2
4
)
(
5
3
+
2
4
)
D= (5\sqrt{3}-2\sqrt{4})(5\sqrt{3}+2\sqrt{4})
D
=
(
5
3
−
2
4
)
(
5
3
+
2
4
)
équivaut successivement à :
D
=
(
5
3
)
2
−
(
2
4
)
2
D= (5\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{4})^{2}
D
=
(
5
3
)
2
−
(
2
4
)
2
D
=
5
2
×
3
2
−
2
2
×
4
2
D=5^{2}\times\sqrt{3}^{2}-2^{2}\times\sqrt{4}^{2}
D
=
5
2
×
3
2
−
2
2
×
4
2
D
=
25
×
3
−
4
×
4
D=25\times3-4\times4
D
=
25
×
3
−
4
×
4
D
=
75
−
16
D=75-16
D
=
75
−
16
D
=
59
D=59
D
=
59