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Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 6

15 min
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Question 1
Écrire sous la forme aba\sqrt{b} , où aa et bb sont deux entiers positifs, bb étant le plus petit possible, les nombres suivants :

A=418−58+250A=4\sqrt{18} -5\sqrt{8} +2\sqrt{50}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
A=418−58+250A=4\sqrt{18} -5\sqrt{8} +2\sqrt{50} équivaut successivement à :
A=49×2−54×2+225×2A=4\sqrt{9\times 2} -5\sqrt{4\times 2} +2\sqrt{25\times 2}
A=49×2−54×2+225×2A=4\sqrt{9} \times \sqrt{2} -5\sqrt{4} \times \sqrt{2} +2\sqrt{25} \times \sqrt{2}
A=432×2−522×2+252×2A=4\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{2} -5\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} +2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{2}
A=4×3×2−5×2×2+2×5×2A=4\times 3\times \sqrt{2} -5\times 2\times \sqrt{2} +2\times 5\times \sqrt{2}
A=122−102+102A=12{\color{blue}\sqrt{2}} -10{\color{blue}\sqrt{2}} +10{\color{blue}\sqrt{2}} . Nous allons factoriser par 2{\color{blue}\sqrt{2}} .
A=(12−10+10)2A=\left(12-10+10\right)\sqrt{2}
A=122A=12\sqrt{2}

Question 2

B=−327+248−975B=-3\sqrt{27} +2\sqrt{48} -9\sqrt{75}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
B=−327+248−975B=-3\sqrt{27} +2\sqrt{48} -9\sqrt{75} équivaut successivement à :
B=−39×3+216×3−925×3B=-3\sqrt{9\times 3} +2\sqrt{16\times 3} -9\sqrt{25\times 3}
B=−39×3+216×3−925×3B=-3\sqrt{9} \times \sqrt{3} +2\sqrt{16} \times \sqrt{3} -9\sqrt{25} \times \sqrt{3}
B=−332×3+242×3−952×3B=-3\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{3} +2\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3} -9\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{3}
B=−3×3×3+2×4×3−9×5×3B=-3\times 3\times \sqrt{3} +2\times 4\times \sqrt{3} -9\times 5\times \sqrt{3}
B=−93+83−453B=-9{\color{blue}\sqrt{3}} +8{\color{blue}\sqrt{3}} -45{\color{blue}\sqrt{3}} . Nous allons factoriser par 3{\color{blue}\sqrt{3}} .
B=(−9+8−45)3B=\left(-9+8-45\right)\sqrt{3}
B=−463B=-46\sqrt{3}

Question 3

C=820+2125+245C=8\sqrt{20} +2\sqrt{125} +\sqrt{245}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
C=820+2125+245C=8\sqrt{20} +2\sqrt{125} +\sqrt{245} équivaut successivement à :
C=84×5+225×5+49×5C=8\sqrt{4\times 5} +2\sqrt{25\times 5} +\sqrt{49\times 5}
C=84×5+225×5+49×5C=8\sqrt{4} \times \sqrt{5} +2\sqrt{25} \times \sqrt{5} +\sqrt{49} \times \sqrt{5}
C=822×5+252×5+72×5C=8\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{5} +2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{5} +\sqrt{7^{2} } \times \sqrt{5}
C=8×2×5+2×5×5+7×5C=8\times 2\times \sqrt{5} +2\times 5\times \sqrt{5} +7\times \sqrt{5}
C=165+105+75C=16{\color{blue}\sqrt{5}} +10{\color{blue}\sqrt{5}} +7{\color{blue}\sqrt{5}} . Nous allons factoriser par 5{\color{blue}\sqrt{5}} .
C=(16+10+7)5C=\left(16+10+7\right)\sqrt{5}
C=335C=33\sqrt{5}

Question 4

D=275−212−63D=2\sqrt{75} -2\sqrt{12} -6\sqrt{3}

Correction
    Pour tous réels positifs aa et bb
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
  • a2=a\sqrt{a^{2} } =a
D=275−212−63D=2\sqrt{75} -2\sqrt{12} -6\sqrt{3} équivaut successivement à :
D=225×3−24×3−63D=2\sqrt{25\times 3} -2\sqrt{4\times 3} -6\sqrt{3}
D=252×3−222×3−63D=2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{3} -2\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{3} -6\sqrt{3}
D=2×5×3−2×2×3−63D=2\times 5\times \sqrt{3} -2\times 2\times \sqrt{3} -6\sqrt{3}
D=103−43−63D=10{\color{blue}\sqrt{3}} -4{\color{blue}\sqrt{3}} -6{\color{blue}\sqrt{3}} . Nous allons factoriser par 3{\color{blue}\sqrt{3}} .
D=(10−4−6)3D=\left(10-4-6\right)\sqrt{3}
D=0×3D=0\times \sqrt{3}
D=0D=0