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Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées
Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées - Exercice 5
20 min
40
Écrire sous la forme
a
b
a\sqrt{b}
a
b
, où
a
a
a
et
b
b
b
sont deux entiers,
b
b
b
étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1
A
=
63
A=\sqrt{63}
A
=
63
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
A
=
63
A=\sqrt{63}
A
=
63
équivaut successivement à :
A
=
9
×
7
A=\sqrt{9\times 7}
A
=
9
×
7
A
=
9
×
7
A=\sqrt{9} \times \sqrt{7}
A
=
9
×
7
A
=
3
2
×
7
A=\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7}
A
=
3
2
×
7
A
=
3
7
A=3\sqrt{7}
A
=
3
7
Question 2
A
=
50
A=\sqrt{50}
A
=
50
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
A
=
50
A=\sqrt{50}
A
=
50
équivaut successivement à :
A
=
25
×
2
A=\sqrt{25\times 2}
A
=
25
×
2
A
=
25
×
2
A=\sqrt{25} \times \sqrt{2}
A
=
25
×
2
A
=
5
2
×
2
A=\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{2}
A
=
5
2
×
2
A
=
5
2
A=5\sqrt{2}
A
=
5
2
Question 3
A
=
48
A=\sqrt{48}
A
=
48
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
A
=
48
A=\sqrt{48}
A
=
48
équivaut successivement à :
A
=
16
×
3
A=\sqrt{16\times 3}
A
=
16
×
3
A
=
16
×
3
A=\sqrt{16} \times \sqrt{3}
A
=
16
×
3
A
=
4
2
×
3
A=\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3}
A
=
4
2
×
3
A
=
4
3
A=4\sqrt{3}
A
=
4
3
Question 4
B
=
2
300
B=2\sqrt{300}
B
=
2
300
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
B
=
2
300
B=2\sqrt{300}
B
=
2
300
équivaut successivement à :
B
=
2
100
×
3
B=2\sqrt{100\times 3}
B
=
2
100
×
3
B
=
2
100
×
3
B=2\sqrt{100} \times \sqrt{3}
B
=
2
100
×
3
B
=
2
1
0
2
×
3
B=2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{3}
B
=
2
1
0
2
×
3
B
=
2
×
10
×
3
B=2\times 10\times \sqrt{3}
B
=
2
×
10
×
3
B
=
20
3
B=20\sqrt{3}
B
=
20
3
Question 5
C
=
12
−
5
3
+
2
48
C=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48}
C
=
12
−
5
3
+
2
48
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
C
=
12
−
5
3
+
2
48
C=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48}
C
=
12
−
5
3
+
2
48
équivaut successivement à :
C
=
4
×
3
−
5
3
+
2
16
×
3
C=\sqrt{4\times 3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16\times 3}
C
=
4
×
3
−
5
3
+
2
16
×
3
C
=
4
×
3
−
5
3
+
2
16
×
3
C=\sqrt{4} \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16} \times \sqrt{3}
C
=
4
×
3
−
5
3
+
2
16
×
3
C
=
2
2
×
3
−
5
3
+
2
4
2
×
3
C=\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3}
C
=
2
2
×
3
−
5
3
+
2
4
2
×
3
C
=
2
3
−
5
3
+
2
×
4
×
3
C=2\sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\times 4\times \sqrt{3}
C
=
2
3
−
5
3
+
2
×
4
×
3
C
=
2
3
−
5
3
+
8
3
C=2{\color{blue}\sqrt{3}} -5{\color{blue}\sqrt{3}} +8{\color{blue}\sqrt{3}}
C
=
2
3
−
5
3
+
8
3
. Nous allons factoriser par
3
{\color{blue}\sqrt{3}}
3
.
C
=
(
2
−
5
+
8
)
3
C=\left(2-5+8\right){\color{blue}\sqrt{3}}
C
=
(
2
−
5
+
8
)
3
C
=
5
3
C=5\sqrt{3}
C
=
5
3
Question 6
D
=
2
72
−
9
2
D=2\sqrt{72} -9\sqrt{2}
D
=
2
72
−
9
2
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
D
=
2
72
−
9
2
D=2\sqrt{72} -9\sqrt{2}
D
=
2
72
−
9
2
équivaut successivement à :
D
=
2
36
×
2
−
9
2
D=2\sqrt{36\times 2} -9\sqrt{2}
D
=
2
36
×
2
−
9
2
D
=
2
36
×
2
−
9
2
D=2\sqrt{36} \times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
D
=
2
36
×
2
−
9
2
D
=
2
×
6
2
×
2
−
9
2
D=2\times \sqrt{6^{2} } \times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
D
=
2
×
6
2
×
2
−
9
2
D
=
2
×
6
×
2
−
9
2
D=2\times 6\times \sqrt{2} -9\sqrt{2}
D
=
2
×
6
×
2
−
9
2
D
=
12
2
−
9
2
D=12{\color{blue}\sqrt{2}} -9{\color{blue}\sqrt{2}}
D
=
12
2
−
9
2
. Nous allons factoriser par
2
{\color{blue}\sqrt{2}}
2
.
D
=
(
12
−
9
)
2
D=\left(12-9\right){\color{blue}\sqrt{2}}
D
=
(
12
−
9
)
2
D
=
3
2
D=3\sqrt{2}
D
=
3
2
Question 7
E
=
4
63
−
2
175
+
8
112
−
3
28
E=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28}
E
=
4
63
−
2
175
+
8
112
−
3
28
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
E
=
4
63
−
2
175
+
8
112
−
3
28
E=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28}
E
=
4
63
−
2
175
+
8
112
−
3
28
équivaut successivement à :
E
=
4
9
×
7
−
2
25
×
7
+
8
16
×
7
−
3
4
×
7
E=4\sqrt{9\times 7} -2\sqrt{25\times 7} +8\sqrt{16\times 7} -3\sqrt{4\times 7}
E
=
4
9
×
7
−
2
25
×
7
+
8
16
×
7
−
3
4
×
7
E
=
4
9
×
7
−
2
25
×
7
+
8
16
×
7
−
3
4
×
7
E=4\sqrt{9} \times \sqrt{7} -2\sqrt{25} \times \sqrt{7} +8\sqrt{16} \times \sqrt{7} -3\sqrt{4} \times \sqrt{7}
E
=
4
9
×
7
−
2
25
×
7
+
8
16
×
7
−
3
4
×
7
E
=
4
3
2
×
7
−
2
5
2
×
7
+
8
4
2
×
7
−
3
2
2
×
7
E=4\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7} -2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{7} +8\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{7} -3\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{7}
E
=
4
3
2
×
7
−
2
5
2
×
7
+
8
4
2
×
7
−
3
2
2
×
7
E
=
4
×
3
×
7
−
2
×
5
×
7
+
8
×
4
×
7
−
3
×
2
×
7
E=4\times 3\times \sqrt{7} -2\times 5\times \sqrt{7} +8\times 4\times \sqrt{7} -3\times 2\times \sqrt{7}
E
=
4
×
3
×
7
−
2
×
5
×
7
+
8
×
4
×
7
−
3
×
2
×
7
E
=
12
7
−
10
7
+
32
7
−
6
7
E=12{\color{blue}\sqrt{7}} -10{\color{blue}\sqrt{7}} +32{\color{blue}\sqrt{7}} -6{\color{blue}\sqrt{7}}
E
=
12
7
−
10
7
+
32
7
−
6
7
. Nous allons factoriser par
7
{\color{blue}\sqrt{7}}
7
.
E
=
(
12
−
10
+
32
−
6
)
7
E=\left(12-10+32-6\right){\color{blue}\sqrt{7}}
E
=
(
12
−
10
+
32
−
6
)
7
E
=
28
7
E=28\sqrt{7}
E
=
28
7
Question 8
F
=
9
24
−
3
150
+
11
96
F=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96}
F
=
9
24
−
3
150
+
11
96
Correction
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
F
=
9
24
−
3
150
+
11
96
F=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96}
F
=
9
24
−
3
150
+
11
96
équivaut successivement à :
F
=
9
4
×
6
−
3
25
×
6
+
11
16
×
6
F=9\sqrt{4\times 6} -3\sqrt{25\times 6} +11\sqrt{16\times 6}
F
=
9
4
×
6
−
3
25
×
6
+
11
16
×
6
F
=
9
4
×
6
−
3
25
×
6
+
11
16
×
6
F=9\sqrt{4} \times \sqrt{6} -3\sqrt{25} \times \sqrt{6} +11\sqrt{16} \times \sqrt{6}
F
=
9
4
×
6
−
3
25
×
6
+
11
16
×
6
F
=
9
2
2
×
6
−
3
5
2
×
6
+
11
4
2
×
6
F=9\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{6} -3\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{6} +11\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{6}
F
=
9
2
2
×
6
−
3
5
2
×
6
+
11
4
2
×
6
F
=
9
×
2
×
6
−
3
×
5
×
6
+
11
×
4
×
6
F=9\times 2\times \sqrt{6} -3\times 5\times \sqrt{6} +11\times 4\times \sqrt{6}
F
=
9
×
2
×
6
−
3
×
5
×
6
+
11
×
4
×
6
F
=
18
6
−
15
6
+
44
6
F=18{\color{blue}\sqrt{6}} -15{\color{blue}\sqrt{6}} +44{\color{blue}\sqrt{6}}
F
=
18
6
−
15
6
+
44
6
. Nous allons factoriser par
6
{\color{blue}\sqrt{6}}
6
.
F
=
(
18
−
15
+
44
)
6
F=\left(18-15+44\right){\color{blue}\sqrt{6}}
F
=
(
18
−
15
+
44
)
6
F
=
47
6
F=47\sqrt{6}
F
=
47
6
Question 9
G
=
20
32
−
30
8
−
2
200
G=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200}
G
=
20
32
−
30
8
−
2
200
Correction
G
=
20
32
−
30
8
−
2
200
G=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200}
G
=
20
32
−
30
8
−
2
200
équivaut successivement à :
G
=
20
16
×
2
−
30
4
×
2
−
2
100
×
2
G=20\sqrt{16\times 2} -30\sqrt{4\times 2} -2\sqrt{100\times 2}
G
=
20
16
×
2
−
30
4
×
2
−
2
100
×
2
G
=
20
16
×
2
−
30
4
×
2
−
2
100
×
2
G=20\sqrt{16} \times \sqrt{2} -30\sqrt{4} \times \sqrt{2} -2\sqrt{100} \times \sqrt{2}
G
=
20
16
×
2
−
30
4
×
2
−
2
100
×
2
G
=
20
4
2
×
2
−
30
2
2
×
2
−
2
1
0
2
×
2
G=20\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{2} -30\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} -2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{2}
G
=
20
4
2
×
2
−
30
2
2
×
2
−
2
1
0
2
×
2
G
=
20
×
4
×
2
−
30
×
3
×
2
−
2
×
10
×
2
G=20\times 4\times \sqrt{2} -30\times 3\times \sqrt{2} -2\times 10\times \sqrt{2}
G
=
20
×
4
×
2
−
30
×
3
×
2
−
2
×
10
×
2
G
=
80
×
2
−
60
×
2
−
20
×
2
G=80\times {\color{blue}\sqrt{2}} -60\times {\color{blue}\sqrt{2}} -20\times {\color{blue}\sqrt{2}}
G
=
80
×
2
−
60
×
2
−
20
×
2
. Nous allons factoriser par
2
{\color{blue}\sqrt{2}}
2
.
G
=
(
80
−
60
−
20
)
2
G=\left(80-60-20\right){\color{blue}\sqrt{2}}
G
=
(
80
−
60
−
20
)
2
G
=
0
G=0
G
=
0