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Savoir donner l'écriture scientifique d'un nombre - Exercice 2

10 min
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Déterminer l'écriture scientifique des nombres suivants.
Question 1

A=(102)3×24×10−26×109A=\frac{{\left({10}^2\right)}^3\times 24\times {10}^{-2}}{6\times {10}^9}

Correction
A=(102)3×24×10−26×109A=\frac{{\left({10}^2\right)}^3\times 24\times {10}^{-2}}{6\times {10}^9}
A=246×(102)3×10−2109A=\frac{24}{6}\times \frac{{\left({10}^2\right)}^3\times {10}^{-2}}{{10}^9}
A=4×102×3×10−2109A=4\times \frac{{10}^{2\times 3}\times {10}^{-2}}{{10}^9}   \;Or : (10a)b=10a×b\color{red}{\left({10}^a\right)}^b=10^{a\times b}
A=4×106×10−2109A=4\times \frac{{10}^6\times {10}^{-2}}{{10}^9}
A=4×106+(−2)109A=4\times \frac{{10}^{6+\left(-2\right)}}{{10}^9}   \;Or : 10a×10b=10a+b\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}
A=4×104109A=4\times \frac{{10}^4}{{10}^9}
A=4×104−9A=4\times {10}^{4-9}   \;Or : 10a10b=10a−b\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}
A=4×10−5A=4\times {10}^{-5}
  • Un nombre décimal positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est sous la forme : a×10n{\color{red}\boxed{a\times10^n}}, avec le nombre a\color{red}a compris entre 1\color{red}1(inclus) et 10\color{red}10 (exclu).
  • nn est un entier relatif. (C'est-à-dire un nombre entier positif ou négatif).
Nous sommes directement en présence de l'écriture scientifique du nombre AA. Ainsi :
A=4×10−5A=4\times {10}^{-5}
Question 2

B=33×10−5×6×(102)44×10−3B=\frac{33\times {10}^{-5}\times 6\times {\left({10}^2\right)}^4}{4\times {10}^{-3}}

Correction
B=33×10−5×6×(102)44×10−3B=\frac{33\times {10}^{-5}\times 6\times {\left({10}^2\right)}^4}{4\times {10}^{-3}}
B=33×64×10−5×(102)410−3B=\frac{33\times 6}{4}\times \frac{{10}^{-5}\times {\left({10}^2\right)}^4}{{10}^{-3}}   \;Or : (10a)b=10a×b\color{red}{\left({10}^a\right)}^b=10^{a\times b}
B=33×64×10−5×102×410−3B=\frac{33\times 6}{4}\times \frac{{10}^{-5}\times {10}^{2\times 4}}{{10}^{-3}}
B=1984×10−5×10810−3B=\frac{198}{4}\times \frac{{10}^{-5}\times {10}^8}{{10}^{-3}}   \; Or : 10a×10b=10a+b\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}
B=1984×10−5+810−3B=\frac{198}{4}\times \frac{{10}^{-5+8}}{{10}^{-3}}
B=49,5×10310−3B=49,5\times \frac{{10}^3}{{10}^{-3}}   \;Or : 10a10b=10a−b\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}
B=49,5×103−(−3)B=49,5\times {10}^{3-\left(-3\right)}
Ainsi :
B=49,5×106B=49,5\times {10}^6
n'est pas une écriture scientifique. donc dans un premier temps :
  • On doit donc décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rang vers la gauche d'un nombre décimal, revient à additionner n\color{red}n à la puissance de 10\color{red}10.
    Ici, on décale la virgule de 1\color{red}1 rang vers la gauche, on a donc :
    B=49,5×106B=49,5\times {10}^6
    B=4,95×106+1{B=4,95\times 10^{6\color{red}+1}}
    Finalement :
    B=4,95×107B=4,95\times{10^{7}}
    Il s'agit donc bien de l'écriture scientifique de BB .
    • Question 3

    C=0,2×10−5×1,2×1023×10−7C=\frac{0,2\times {10}^{-5}\times 1,2\times {10}^2}{3\times {10}^{-7}}

    Correction
    C=0,2×10−5×1,2×1023×10−7C=\frac{0,2\times {10}^{-5}\times 1,2\times {10}^2}{3\times {10}^{-7}}
    C=0,2×1,23×10−5×10210−7C=\frac{0,2\times 1,2}{3}\times \frac{{10}^{-5}\times {10}^2}{{10}^{-7}}
    C=0,243×10−5+210−7C=\frac{0,24}{3}\times \frac{{10}^{-5+2}}{{10}^{-7}}
    C=0,08×10−310−7C=0,08\times \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-7}}
    C=0,08×10−3−(−7)C=0,08\times {10}^{-3-\left(-7\right)}
    C=0,08×10−3+7C=0,08\times {10}^{-3+7}
    Ainsi C=0,08×104C=0,08\times {10}^4 n'est pas une écriture scientifique.
  • On doit donc décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).
    • Décaler une virgule de n\color{red}n rang vers la droite d'un nombre décimal, revient à soustraire n\color{red}n à la puissance de 10\color{red}10.
    Ici on décale la virgule de 2\color{red}2 rangs vers la droite, on a donc :
    C=0,08×104C=0,08\times {10}^4
    C=8×104−2{C=8\times 10^{4\color{red}-2}}
    Finalement :
    C=8×102C=8\times{10^{2}}
    . Il s'agit donc bien de l'écriture scientifique de CC .