Savoir donner l'écriture scientifique d'un nombre - Exercice 2

$$A=\frac{{\left({10}^2\right)}^3\times 24\times {10}^{-2}}{6\times {10}^9}$$
$$A=\frac{24}{6}\times \frac{{\left({10}^2\right)}^3\times {10}^{-2}}{{10}^9}$$
$$A=4\times \frac{{10}^{2\times 3}\times {10}^{-2}}{{10}^9}$$ $$\;$$Or : $$\color{red}{\left({10}^a\right)}^b=10^{a\times b}$$
$$A=4\times \frac{{10}^6\times {10}^{-2}}{{10}^9}$$
$$A=4\times \frac{{10}^{6+\left(-2\right)}}{{10}^9}$$ $$\;$$Or : $$\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}$$
$$A=4\times \frac{{10}^4}{{10}^9}$$
$$A=4\times {10}^{4-9}$$ $$\;$$Or : $$\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}$$
$$A=4\times {10}^{-5}$$
Nous sommes directement en présence de l'écriture scientifique du nombre $$A$$. Ainsi :

$$B=\frac{33\times {10}^{-5}\times 6\times {\left({10}^2\right)}^4}{4\times {10}^{-3}}$$
$$B=\frac{33\times 6}{4}\times \frac{{10}^{-5}\times {\left({10}^2\right)}^4}{{10}^{-3}}$$ $$\;$$Or : $$\color{red}{\left({10}^a\right)}^b=10^{a\times b}$$
$$B=\frac{33\times 6}{4}\times \frac{{10}^{-5}\times {10}^{2\times 4}}{{10}^{-3}}$$
$$B=\frac{198}{4}\times \frac{{10}^{-5}\times {10}^8}{{10}^{-3}}$$ $$\;$$ Or : $$\color{red}10^a\times10^b=10^{a+b}$$
$$B=\frac{198}{4}\times \frac{{10}^{-5+8}}{{10}^{-3}}$$
$$B=49,5\times \frac{{10}^3}{{10}^{-3}}$$ $$\;$$Or : $$\color{red}\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}$$
$$B=49,5\times {10}^{3-\left(-3\right)}$$
Ainsi : n'est pas une écriture scientifique. donc dans un premier temps :

On doit donc décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).

• Décaler une virgule de $$\color{red}n$$ rang vers la gauche d'un nombre décimal, revient à additionner $$\color{red}n$$ à la puissance de $$\color{red}10$$.
  

Ici, on décale la virgule de $$\color{red}1$$ rang vers la gauche, on a donc :
$$B=49,5\times {10}^6$$
$${B=4,95\times 10^{6\color{red}+1}}$$
Finalement :

$$B=4,95\times{10^{7}}$$

Il s'agit donc bien de l'écriture scientifique de $$B$$ .

$$C=\frac{0,2\times {10}^{-5}\times 1,2\times {10}^2}{3\times {10}^{-7}}$$
$$C=\frac{0,2\times 1,2}{3}\times \frac{{10}^{-5}\times {10}^2}{{10}^{-7}}$$
$$C=\frac{0,24}{3}\times \frac{{10}^{-5+2}}{{10}^{-7}}$$
$$C=0,08\times \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-7}}$$
$$C=0,08\times {10}^{-3-\left(-7\right)}$$
$$C=0,08\times {10}^{-3+7}$$
Ainsi $$C=0,08\times {10}^4$$ n'est pas une écriture scientifique.

On doit donc décaler la virgule afin d'obtenir un nombre décimal pour qu'il soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclus).

• Décaler une virgule de $$\color{red}n$$ rang vers la droite d'un nombre décimal, revient à soustraire $$\color{red}n$$ à la puissance de $$\color{red}10$$.
  

Ici on décale la virgule de $$\color{red}2$$ rangs vers la droite, on a donc :
$$C=0,08\times {10}^4$$
$${C=8\times 10^{4\color{red}-2}}$$
Finalement :

$$C=8\times{10^{2}}$$

. Il s'agit donc bien de l'écriture scientifique de $$C$$ .