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Seconde
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Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées
Exercices types : 1
ère
partie : avec les racines carrées - Exercice 5
15 min
30
Écrire sous la forme
a
b
a\sqrt{b}
a
b
, où
a
a
a
et
b
b
b
sont deux entiers positifs,
b
b
b
étant le plus petit possible, les nombres suivants :
Question 1
A
=
(
4
3
+
2
)
2
A= (4\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}
A
=
(
4
3
+
2
)
2
Correction
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
A
=
(
4
3
+
2
)
2
A= (4\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}
A
=
(
4
3
+
2
)
2
équivaut successivement à :
A
=
(
4
3
)
2
+
2
×
4
3
×
2
+
(
2
)
2
A= (4\sqrt{3})^{2}+2\times 4\sqrt{3}\times \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}
A
=
(
4
3
)
2
+
2
×
4
3
×
2
+
(
2
)
2
A
=
4
2
×
3
2
+
8
3
×
2
+
2
A=4^{2}\times\sqrt{3}^{2}+8\sqrt{3\times 2}+2
A
=
4
2
×
3
2
+
8
3
×
2
+
2
A
=
16
×
3
+
8
6
+
2
A=16\times3+8\sqrt{6}+2
A
=
16
×
3
+
8
6
+
2
A
=
48
+
8
6
+
2
A=48+8\sqrt{6}+2
A
=
48
+
8
6
+
2
A
=
50
+
8
6
A=50+8\sqrt{6}
A
=
50
+
8
6
Question 2
B
=
(
2
7
−
5
3
)
2
B= (2\sqrt{7}-5\sqrt{3})^{2}
B
=
(
2
7
−
5
3
)
2
Correction
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
B
=
(
2
7
−
5
3
)
2
B= (2\sqrt{7}-5\sqrt{3})^{2}
B
=
(
2
7
−
5
3
)
2
équivaut successivement à :
B
=
(
2
7
)
2
−
2
×
2
7
×
5
3
+
(
5
3
)
2
B= (2\sqrt{7})^{2}-2\times 2\sqrt{7}\times 5\sqrt{3}+(5\sqrt{3})^{2}
B
=
(
2
7
)
2
−
2
×
2
7
×
5
3
+
(
5
3
)
2
B
=
2
2
×
7
2
−
2
×
2
×
5
7
×
3
+
5
2
×
3
2
B=2^{2}\times\sqrt{7}^{2}-2\times2\times5\sqrt{7\times 3}+5^{2}\times\sqrt{3}^{2}
B
=
2
2
×
7
2
−
2
×
2
×
5
7
×
3
+
5
2
×
3
2
B
=
4
×
7
−
20
21
+
25
×
3
B=4\times7-20\sqrt{21}+25\times3
B
=
4
×
7
−
20
21
+
25
×
3
B
=
28
−
20
21
+
75
B=28-20\sqrt{21}+75
B
=
28
−
20
21
+
75
B
=
103
−
20
21
B=103-20\sqrt{21}
B
=
103
−
20
21
Question 3
C
=
(
7
5
−
4
3
)
2
C= (7\sqrt{5}-4\sqrt{3})^{2}
C
=
(
7
5
−
4
3
)
2
Correction
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
C
=
(
7
5
−
4
3
)
2
C= (7\sqrt{5}-4\sqrt{3})^{2}
C
=
(
7
5
−
4
3
)
2
équivaut successivement à :
C
=
(
7
5
)
2
−
2
×
7
5
×
4
3
+
(
4
3
)
2
C= (7\sqrt{5})^{2}-2\times 7\sqrt{5}\times 4\sqrt{3}+(4\sqrt{3})^{2}
C
=
(
7
5
)
2
−
2
×
7
5
×
4
3
+
(
4
3
)
2
C
=
7
2
×
5
2
−
2
×
7
×
4
5
×
3
+
4
2
×
3
2
C=7^{2}\times\sqrt{5}^{2}-2\times7\times4\sqrt{5\times 3}+4^{2}\times\sqrt{3}^{2}
C
=
7
2
×
5
2
−
2
×
7
×
4
5
×
3
+
4
2
×
3
2
C
=
49
×
5
−
56
15
+
16
×
3
C=49\times5-56\sqrt{15}+16\times3
C
=
49
×
5
−
56
15
+
16
×
3
C
=
245
−
56
15
+
48
C=245-56\sqrt{15}+48
C
=
245
−
56
15
+
48
C
=
293
−
56
15
C=293-56\sqrt{15}
C
=
293
−
56
15
Question 4
D
=
(
5
2
−
3
7
)
(
5
2
+
3
7
)
D= (5\sqrt{2}-3\sqrt{7})(5\sqrt{2}+3\sqrt{7})
D
=
(
5
2
−
3
7
)
(
5
2
+
3
7
)
Correction
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
Pour tous réels positifs
a
a
a
et
b
b
b
a
×
b
=
a
×
b
\sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b }
a
×
b
=
a
×
b
a
2
=
a
\sqrt{a^{2} } =a
a
2
=
a
(
a
b
)
2
=
a
2
×
b
2
(ab)^{2} =a^{2}\times b^{2}
(
ab
)
2
=
a
2
×
b
2
D
=
(
5
2
−
3
7
)
(
5
2
+
3
7
)
D= (5\sqrt{2}-3\sqrt{7})(5\sqrt{2}+3\sqrt{7})
D
=
(
5
2
−
3
7
)
(
5
2
+
3
7
)
équivaut successivement à :
D
=
(
5
2
)
2
−
(
3
7
)
2
D= (5\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{7})^{2}
D
=
(
5
2
)
2
−
(
3
7
)
2
D
=
5
2
×
2
2
−
3
2
×
7
2
D=5^{2}\times\sqrt{2}^{2}-3^{2}\times\sqrt{7}^{2}
D
=
5
2
×
2
2
−
3
2
×
7
2
D
=
25
×
2
−
9
×
7
D=25\times2-9\times7
D
=
25
×
2
−
9
×
7
D
=
50
−
63
D=50-63
D
=
50
−
63
D
=
−
13
D=-13
D
=
−
13