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Cours sur les racines carrées

Calculs sur les racines carrées

Définition

  • La racine carrée d’un nombre positif aa est le nombre positif dont le carré est aa. On la note a\sqrt{a} .
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
  • 42=164^{2}=16 et donc 16=4\sqrt{16}=4

    • Remarque : Il en résulte donc que −3\sqrt{-3} est une écriture incorrecte. En effet, il n'existe pas de nombre réel ayant pour carré −3-3.

    Règles de calculs

    Propriétés sur les racines carrées

    Propriétés
    • Soit aa un réel positif alors a2=a\sqrt{a^{2} } =a ou encore (a)2=a\left(\sqrt{a} \right)^{2} =a
    • Soit aa un réel négatif alors (−a)2=a2=a\sqrt{\left(-a\right)^{2} } =\sqrt{a^{2} } =a
    Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • 82=8\sqrt{8^{2} } =8
  • (7)2=7\left(\sqrt{7} \right)^{2} =7
  • (511)2=511\left(\sqrt{\frac{5}{11} } \right)^{2} =\frac{5}{11}
  • (25)2=25\sqrt{\left(\frac{2}{5} \right)^{2} } =\frac{2}{5}
  • (−6)2≠−6\sqrt{\left(-6\right)^{2} } \ne -6 en effet : (−6)2=62=6\sqrt{\left(-6\right)^{2} } =\sqrt{6^{2} } =6

    • Les racines de carrés parfaits

    Racine carrée d'un produit

      Définition
    • Soient aa et bb deux réels positifs alors :
      a×b=a×b\sqrt{a\times b} =\sqrt{a} \times \sqrt{b}
    Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • 3×5=3×5=15\sqrt{3} \times \sqrt{5} =\sqrt{3\times 5} =\sqrt{15}
  • 22=2×11=2×11\sqrt{22} =\sqrt{2\times 11} =\sqrt{2} \times \sqrt{11}

    • Racine carrée d'un quotient

      Définition
    • Soient aa et bb deux réels positifs avec b≠0b\ne0 alors :
      ab=ab\sqrt{\frac{a}{b} } =\frac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} }
    Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • 59=59=53\sqrt{\frac{5}{9} } =\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{9} } =\frac{\sqrt{5} }{3}
  • 37=37\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{7} } =\sqrt{\frac{3}{7} }

    • Calculs sur les racines carrées

    Ecrire une somme sous la forme ab\blue{a\sqrt{b}}

    • Il faut factoriser l'expression à l'aide du facteur commun b\sqrt{b} .
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Simplifier l'expression A=35−85+115A=3\sqrt{5} -8\sqrt{5} +11\sqrt{5}
    A=35−85+115A=3{\color{blue}\sqrt{5}} -8{\color{blue}\sqrt{5}}+11{\color{blue}\sqrt{5}} . Nous allons factoriser par 5{\color{blue}\sqrt{5}} .
    A=(3−8+11)×5A=\left(3-8+11\right)\times {\color{blue}\sqrt{5}}
    A=65A=6\sqrt{5}

    Ecrire un nombre sous la forme ab\blue{a\sqrt{b}} en utilisant les carrés parfaits

    Méthode
    • Il faut faire apparaitre un carré parfait dans l'expression se trouvant sous la racine carré.
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} B=48B=\sqrt{48}
    B=16×3B=\sqrt{16\times 3} . Nous avons fait apparaitre un carré parfait, ici en l'occurrence 1616 .
    B=16×3B=\sqrt{16} \times \sqrt{3} . On a appliqué la formule a×b=a×b\sqrt{a\times b} =\sqrt{a} \times \sqrt{b} .
    B=4×3B=4\times \sqrt{3} . On a simplifié la racine du carré parfait .
    Finalement :
    B=43B=4\sqrt{3}