Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{\sqrt{u\left(x\right)} }}$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \left]-2;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(u\right)=3x+6}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{3}}}{{\color{red}{\sqrt{3x+6} }}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ est de la forme $$2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-2;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\infty;-4 \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(u\right)=-2x-8}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=-2}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{-2}}}{{\color{red}{\sqrt{-2x-8} }}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ est de la forme $$2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty;-4 \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\infty;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(u\right)=5x^{2}+3}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=10x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{10x}}}{{\color{red}{\sqrt{5x^{2}+3} }}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ est de la forme $$2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\infty;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(u\right)=2x^{2}+6x+8}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x+6}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{4x+6}}}{{\color{red}{\sqrt{2x^{2}+6x+8} }}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}}$$ est de la forme $$2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=2\sqrt{\color{red}{{u}}}$$
Ainsi :