Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  →

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦eax+b\red{x\mapsto e^{ax+b} } - Exercice 1

4 min
15
On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

a(x)=4e3x+2e5xa\left(x\right)=4e^{3x} +2e^{5x}

Correction
  • Une primitive de nombre×eax\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x} est nombrea×eax\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x}
    • Soit a(x)=4e3x+2e5xa\left(x\right)=4e^{{\color{red}{3}}x} +2e^{{\color{blue}{5}}x} ainsi :
    A(x)=43e3x+25e5x+kA\left(x\right)=\frac{4}{{\color{red}{{\color{red}{3}}}}} e^{{\color{red}{3}}x} +\frac{2}{{\color{blue}{5}}} e^{{\color{blue}{5}}x} +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    b(x)=3e2x+e8x+exb\left(x\right)=3e^{2x} +e^{8x} +e^{x}

    Correction
  • Une primitive de nombre×eax\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x} est nombrea×eax\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x}
    • Soit b(x)=3e2x+e8x+exb\left(x\right)=3e^{{\color{red}{2}}x} +e^{{\color{blue}{8}}x}+e^x ainsi :
    B(x)=32e2x+18e8x+ex+kB\left(x\right)=\frac{3}{{\color{red}{{\color{red}{2}}}}} e^{{\color{red}{2}}x} +\frac{1}{{\color{blue}{8}}} e^{{\color{blue}{8}}x} +e^x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    c(x)=2e7x+9e−xc\left(x\right)=2e^{7x} +9e^{-x}

    Correction
  • Une primitive de nombre×eax\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x} est nombrea×eax\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x}
    • Soit c(x)=2e7x+9e−1xc\left(x\right)=2e^{{\color{red}{7}}x} +9e^{{\color{blue}{-1}}x} ainsi :
    C(x)=27e7x+9−1e−x+kC\left(x\right)=\frac{2}{{\color{red}{{\color{red}{7}}}}} e^{{\color{red}{7}}x} +\frac{9}{-1} e^{{\color{blue}{-}}x}+k
    C(x)=27e7x−9e−x+kC\left(x\right)=\frac{2}{{\color{red}{{\color{red}{7}}}}} e^{{\color{red}{7}}x} -9 e^{{\color{blue}{-}}x}+k
    où kk est une constante réelle.