Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 1

Soit : $$x\in \left[0;1\right]$$, il en résulte que $$2x^{n} \ge 0$$ et que $$1+x^{2} \ge 0$$.
Donc : $$\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } \ge 0$$
Autrement dit : $$g_{n} \left(x\right)\ge 0$$
On peut conclure que : $$\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0$$.
Finalement :

Soit : $$x\in \left[0;1\right]$$
On a alors :
$$0\le x^{2} \le 1\Leftrightarrow 1\le x^{2} +1\le 2$$
On compose par la fonction inverse, d'où :
$$\frac{1}{2} \le \frac{1}{x^{2} +1} \le 1$$ équivaut à
$$\frac{2x^{n} }{2} \le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}$$
On sait que : $$\frac{2x^{n} }{2} \ge 0$$
On en déduit alors que : $$0\le \frac{2x^{n} }{2} \le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}$$
D'où : $$0\le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}$$
Il en résulte que : $$\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\frac{2x^{n} }{x^{2} +1} dx\le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx$$
Finalement :

Calculons $$\int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx =\left[\frac{2}{n+1} x^{n+1} \right]_{0}^{1}$$
D'où : $$\int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx =\frac{2}{n+1}$$
D'après la question précédente, nous savons que :
$$0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx$$
Ainsi :
Or $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n+1} =0$$ et $$0\le v_{n} \le \frac{2}{n+1}$$
Donc d'après le théorème des gendarmes :