Où en sommes nous avec les équations - Exercice 1

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
Dans un premier temps, nous allons transformer l'équation $$e^{x} +6 -7e^{-x}=0$$ . Nous multiplier de part et d'autre du signe égale par $$e^{x}$$. Il vient :
$$e^{x}\times\left(e^{x} +6 -7e^{-x}\right)=e^{x}\times0$$
$$e^{x} \times e^{x} +6\times e^{x} -7e^{-x} \times e^{x} =0$$
$$e^{x+x} +6e^{x} -7e^{-x+x} =0$$
$$e^{2x} +6e^{x} -7e^{0} =0$$ . On rappelle que : $$e^{0}=1$$
$$e^{2x} +6e^{x} -7=0$$
On écrit l'équation $$e^{2x} +6e^{x} -7=0$$ sous la forme $$\left(e^{x} \right)^{2} +6e^{x} -7=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=e^{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +6X-7=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-7$$ et $$X_{2} =1$$.
Or nous avons posé $$X=e^{x}$$, il en résulte que
$$e^{x} =-7$$ ou encore $$e^{x} =1$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$e^{x} =1$$. Il vient alors que $$e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$$

$$x=0$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$e^{x} =-7$$. Or $$e^{x} >0$$ , donc l'équation $$e^{x} =-7$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$e^{x} +6 -7e^{-x}=0$$ est

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$
On écrit l'équation $$2x -4\sqrt{x} -16=0$$ sous la forme $$2\left(\sqrt{x} \right)^{2} -4\sqrt{x} -16=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=\sqrt{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {2X^{2} -4X-16=0} \\ {X=\sqrt{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-2$$ et $$X_{2} =4$$.
Or nous avons posé $$X=\sqrt{x}$$, il en résulte que
$$\sqrt{x} =-2$$ ou encore $$\sqrt{x} =4$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$\sqrt{x} =4$$. Il vient alors que $$\sqrt{x} =4\Leftrightarrow$$

$$x=4^{2}=16$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$\sqrt{x} =-2$$. Or $$\sqrt{x} \ge0$$ , donc l'équation $$\sqrt{x} =-2$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$2x -4\sqrt{x} -16=0$$ est
L'équation admet donc une unique solution entière.