Manipulations calculatoires - Exercice 1

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
$$A=\left(2\sqrt{6} -4\sqrt{3} \right)\left(2-5\sqrt{8} \right)$$
$$A=2\sqrt{6} \times 2-2\sqrt{6} \times 5\sqrt{8} -4\sqrt{3} \times 2+4\sqrt{3} \times 5\sqrt{8}$$
$$A=4\sqrt{6} -10\sqrt{48} -8\sqrt{3} +20\sqrt{24}$$
$$A=4\sqrt{6} -10\sqrt{16\times 3} -8\sqrt{3} +20\sqrt{4\times 6}$$
$$A=4\sqrt{6} -10\times \sqrt{16} \times \sqrt{3} -8\sqrt{3} +20\times \sqrt{4} \times \sqrt{6}$$
$$A=4\sqrt{6} -10\times 4\times \sqrt{3} -8\sqrt{3} +20\times 2\times \sqrt{6}$$
$$A=4\sqrt{6} -40\sqrt{3} -8\sqrt{3} +40\sqrt{6}$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$Soit $$B=\frac{\sqrt{5} +\sqrt{6} }{4\sqrt{5} +3\sqrt{6} }$$ . Le dénominateur est $$4\sqrt{5} +3\sqrt{6}$$ . L'expression conjuguée du dénominateur $$4\sqrt{5} +3\sqrt{6}$$ vaut $$4\sqrt{5} -3\sqrt{6}$$ .
On a :
$$B=\frac{\sqrt{5} +\sqrt{6} }{4\sqrt{5} +3\sqrt{6} }$$ équivaut successivement à :
$$B=\frac{\left(\sqrt{5} +\sqrt{6} \right)\left(4\sqrt{5} -3\sqrt{6} \right)}{\left(4\sqrt{5} +3\sqrt{6} \right)\left(4\sqrt{5} -3\sqrt{6} \right)}$$
$$B=\frac{\sqrt{5} \times 4\sqrt{5} -\sqrt{5} \times 3\sqrt{6} +\sqrt{6} \times 4\sqrt{5} -\sqrt{6} \times 3\sqrt{6} }{\left(4\sqrt{5} \right)^{2} -\left(3\sqrt{6} \right)^{2} }$$
$$B=\frac{4\times \left(\sqrt{5} \right)^{2} -3\sqrt{30} +4\sqrt{30} -3\times \left(\sqrt{6} \right)^{2} }{\left(4\right)^{2} \times \left(\sqrt{5} \right)^{2} -\left(3\right)^{2} \times \left(\sqrt{6} \right)^{2} }$$
$$B=\frac{4\times 5-3\sqrt{30} +4\sqrt{30} -3\times 6}{16\times 5-9\times 6}$$
$$B=\frac{20-3\sqrt{30} +4\sqrt{30} -18}{80-54}$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$$$C=\left(\frac{x^{2} y^{-3} }{x^{-4} y^{2} } \right)^{4} \left(\frac{x^{-3} y^{4} }{x^{2} y^{-5} } \right)^{3}$$
$$C=\frac{\left(x^{2} y^{-3} \right)^{4} }{\left(x^{-4} y^{2} \right)^{4} } \times \frac{\left(x^{-3} y^{4} \right)^{3} }{\left(x^{2} y^{-5} \right)^{3} }$$
$$C=\frac{\left(x^{2} \right)^{4} \left(y^{-3} \right)^{4} }{\left(x^{-4} \right)^{4} \left(y^{2} \right)^{4} } \times \frac{\left(x^{-3} \right)^{3} \left(y^{4} \right)^{3} }{\left(x^{2} \right)^{3} \left(y^{-5} \right)^{3} }$$
$$C=\frac{x^{8} y^{-12} }{x^{-16} y^{8} } \times \frac{x^{-9} y^{12} }{x^{6} y^{-15} }$$
$$C=\frac{x^{8+\left(-9\right)} y^{-12+12} }{x^{-16+6} y^{8+\left(-15\right)} }$$
$$C=\frac{x^{-1} y^{0} }{x^{-10} y^{-7} }$$
$$C=\frac{x^{-1} }{x^{-10} y^{-7} }$$
$$C=\frac{x^{-1} }{x^{-10} } \times \frac{1}{y^{-7} }$$
$$C=x^{-1-\left(-10\right)} \times y^{7}$$
Finalement :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-\frac{2}{3+\frac{x-1}{3-x} } }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-\frac{2}{\frac{3\left(3-x\right)}{3-x} +\frac{x-1}{3-x} } }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-\frac{2}{\frac{3\left(3-x\right)+x-1}{3-x} } }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-\frac{2}{\frac{9-3x+x-1}{3-x} } }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-\frac{2}{\frac{8-2x}{3-x} } }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-2\times \frac{3-x}{8-2x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x-\frac{6-2x}{8-2x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\frac{x\left(8-2x\right)}{8-2x} -\frac{6-2x}{8-2x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\frac{x\left(8-2x\right)-\left(6-2x\right)}{8-2x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\frac{8x-2x^{2} -6+2x}{8-2x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\frac{-2x^{2} +10x-6}{8-2x} }$$
Finalement :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
On reconnait une équation du second degré. On va utiliser le discriminant :
$$3x^{2} -\sqrt{15} x+\frac{1}{3} =-\frac{11}{12}$$ équivaut successivement à :
$$3x^{2} -\sqrt{15} x+\frac{1}{3} +\frac{11}{12} =0$$
$$3x^{2} -\sqrt{15} x+\frac{5}{4} =0$$
$$\Delta =\left(-\sqrt{15} \right)^{2} -4\times 3\times \frac{5}{4}$$
$$\Delta =15-15$$
$$\Delta =0$$
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x_{0} =-\frac{\left(-\sqrt{15} \right)}{2\times 3}$$
D'où $$x_{0} =\frac{\sqrt{15} }{6}$$
La racine de l'équation $$-x^{2} +2x-1=0$$ est donc $$S=\left\{\frac{\sqrt{15} }{6} \right\}$$

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$
$$D=\left(\sqrt{4-\sqrt{2} } -\sqrt{4+\sqrt{2} } \right)^{2}$$
$$D=\left(\sqrt{4-\sqrt{2} } \right)^{2} -2\sqrt{4-\sqrt{2} } \times \sqrt{4+\sqrt{2} } +\left(\sqrt{4+\sqrt{2} } \right)^{2}$$
$$D=4-\sqrt{2} -2\sqrt{\left(4-\sqrt{2} \right)\left(4+\sqrt{2} \right)} +4+\sqrt{2}$$
$$D=4-\sqrt{2} -2\sqrt{4^{2} -\left(\sqrt{2} \right)^{2} } +4+\sqrt{2}$$
$$D=8-2\sqrt{16-2}$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
$$E=-6+a\left(2-3a\left(3+4b\left(-2+2a\right)\right)\right)$$ équivaut successivement à :
$$E=-6+a\left(2-3a\left(3+\left(-8b+8ab\right)\right)\right)$$
$$E=-6+a\left(2-3a\left(3-8b+8ab\right)\right)$$
$$E=-6+a\left(2-\left(9a-24ab+24a^{2} b\right)\right)$$
$$E=-6+a\left(2-9a+24ab-24a^{2} b\right)$$
$$E=-6+2a-9a^{2} +24a^{2} b-24a^{3} b$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
$$F=\frac{\frac{y}{y-x} -\frac{x}{y+x} }{\frac{y}{y+x} +\frac{x}{y-x} }$$
$$F=\frac{\frac{y\left(y+x\right)}{\left(y-x\right)\left(y+x\right)} -\frac{x\left(y-x\right)}{\left(y+x\right)\left(y-x\right)} }{\frac{y\left(y-x\right)}{\left(y+x\right)\left(y-x\right)} +\frac{x\left(y+x\right)}{\left(y-x\right)\left(y+x\right)} }$$
$$F=\frac{\frac{y\left(y+x\right)-x\left(y-x\right)}{\left(y-x\right)\left(y+x\right)} }{\frac{y\left(y-x\right)+x\left(y+x\right)}{\left(y+x\right)\left(y-x\right)} }$$
$$F=\frac{\frac{y\left(y+x\right)-x\left(y-x\right)}{\red{\cancel{\left(y-x\right)\left(y+x\right)}}} }{\frac{y\left(y-x\right)+x\left(y+x\right)}{\red{\cancel{\left(y+x\right)\left(y-x\right)}} }}$$
$$F=\frac{y\left(y+x\right)-x\left(y-x\right)}{y\left(y-x\right)+x\left(y+x\right)}$$
$$F=\frac{y^{2} +xy-xy+x^{2} }{y^{2} -xy+xy+x^{2} }$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
Soit $$x\in \left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;5\right[\cup \left]5;+\infty \right[$$ . Nous allons dresser un tableau de signe pour résoudre cette inéquation.
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{c}$$$$G=\ln \left(10^{5} \right)+\ln \left(1000\right)-\ln \left(0,01\right)$$ équivaut successivement à :
$$G=\ln \left(10^{5} \right)+\ln \left(10^{3} \right)-\ln \left(10^{-2} \right)$$
$$G=\ln \left(10^{5} \times 10^{3} \right)-\ln \left(10^{-2} \right)$$
$$G=\ln \left(10^{8} \right)-\ln \left(10^{-2} \right)$$
$$G=\ln \left(\frac{10^{8} }{10^{-2} } \right)$$
$$G=\ln \left(10^{8-\left(-2\right)} \right)$$
$$G=\ln \left(10^{10} \right)$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$
$$H=\frac{\sqrt{a} -2\sqrt{b} }{\sqrt{a} +\sqrt{b} } +\frac{3\sqrt{a} +\sqrt{b} }{\sqrt{a} -\sqrt{b} }$$
$$H=\frac{\left(\sqrt{a} -2\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)}{\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)} +\frac{\left(3\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}$$
$$H=\frac{\left(\sqrt{a} -2\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)}{\left(\sqrt{a} \right)^{2} -\left(\sqrt{b} \right)^{2} } +\frac{\left(3\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\left(\sqrt{a} \right)^{2} -\left(\sqrt{b} \right)^{2} }$$
$$H=\frac{\left(\sqrt{a} \right)^{2} -\sqrt{a} \times \sqrt{b} -2\sqrt{b} \times \sqrt{a} +2\left(\sqrt{b} \right)^{2} }{a-b} +\frac{3\left(\sqrt{a} \right)^{2} +3\sqrt{a} \times \sqrt{b} +\sqrt{b} \times \sqrt{a} +\left(\sqrt{b} \right)^{2} }{a-b}$$
$$H=\frac{a-\sqrt{ab} -2\sqrt{ab} +2b}{a-b} +\frac{3a+3\sqrt{ab} +\sqrt{ab} +b}{a-b}$$
$$H=\frac{a-\sqrt{ab} -2\sqrt{ab} +2b+3a+3\sqrt{ab} +\sqrt{ab} +b}{a-b}$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$$$I=\frac{e^{-5x+2} \times \left(e^{-3x-1} \right)^{2} \times \left(e^{7x+3} \right)^{3} }{\left(e^{-3x-1} \times e^{4x+6} \right)^{5} }$$ équivaut successivement à :
$$I=\frac{e^{-5x+2} \times \left(e^{\left(-3x-1\right)\times 2} \right)\times \left(e^{\left(7x+3\right)\times 3} \right)}{\left(e^{-3x-1+4x+6} \right)^{5} }$$
$$I=\frac{e^{-5x+2} \times e^{-6x-2} \times e^{21x+9} }{\left(e^{x+5} \right)^{5} }$$
$$I=\frac{e^{-5x+2+\left(-6x-2\right)+21x+9} }{e^{\left(x+5\right)\times 5} }$$
$$I=\frac{e^{10x+9} }{e^{5x+25} }$$
$$I=e^{10x+9-\left(5x+25\right)}$$
$$I=e^{10x+9-5x-25}$$
D'où :