Une célèbre limite - Exercice 1

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\ln\left(\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}$$
Or, on sait que lorsque $$X \longrightarrow 0$$, on a la relation $$\ln(1+X) \underset{0}{\sim} X$$. Ainsi, si $$x \longrightarrow +\infty$$ alors $$\frac{1}{x} \longrightarrow 0$$.Et on peut alors écrire que : $$\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x}$$. On va donc avoir :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{x\frac{1}{x}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{1} = e^{1}$$
Finalement, on obtient le résultat suivant :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x = e$$