Une autre limite trigonométrique - Exercice 1

On sait que :
$$\sin(x) \underset{0}{\sim} x$$ et $$\tan(x) \underset{0}{\sim} x$$.
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$$
De plus, on a la relation $$\sqrt{1+x} \underset{0}{\sim} 1+\dfrac{1}{2}x$$. Ainsi, on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}x - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{2} \dfrac{x}{x} = \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x}{x} = \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0} 1 = \dfrac{1}{2} \times 1$$
Finalement, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)} = \dfrac{1}{2}$$