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Une autre limite trigonométrique - Exercice 1

20 min
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Question 1

Calculer la limite suivante : lim⁡x⟶01+sin⁡(x)−1tan⁡(x)\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)}

Correction
On sait que :
sin⁡(x)∼0x\sin(x) \underset{0}{\sim} x et tan⁡(x)∼0x\tan(x) \underset{0}{\sim} x.
Ce qui nous permet d'écrire que :
lim⁡x⟶01+sin⁡(x)−1tan⁡(x)=lim⁡x⟶01+x−1x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}
De plus, on a la relation 1+x∼01+12x\sqrt{1+x} \underset{0}{\sim} 1+\dfrac{1}{2}x. Ainsi, on obtient :
lim⁡x⟶01+sin⁡(x)−1tan⁡(x)=lim⁡x⟶01+12x−1x=lim⁡x⟶012xx=lim⁡x⟶012xx=12lim⁡x⟶0xx=12lim⁡x⟶01=12×1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}x - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{2} \dfrac{x}{x} = \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x}{x} = \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0} 1 = \dfrac{1}{2} \times 1
Finalement, on trouve que :
lim⁡x⟶01+sin⁡(x)−1tan⁡(x)=12\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin(x)} - 1}{\tan(x)} = \dfrac{1}{2}

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