Objectif supérieur (5) : pour vérifier que c'est OK ! - Exercice 1

La limite cherchée est :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)$$
C'est à dire que dans la fraction initiale, les plus grandes puissances (au numérateur et au dénominateur) dominent cette fraction. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3}{4x^2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}}{4}x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}}x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)$$
Comme $$x \longrightarrow + \infty$$ cela implique que $$\dfrac{1}{x} \longrightarrow 0$$ et de fait $$\sin\left( \dfrac{1}{x} \right) \underset{+ \infty}{\sim} \dfrac{1}{x}$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}}x \times \dfrac{1}{x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \times 1 = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$
Finalement, on trouve que la limite cherchée vaut :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{2}x^3+2x^2+1}{4x^2+3x+2} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$