Objectif supérieur (4) - Exercice 1

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{\sin(x)}{x} + \dfrac{\sin(2x)}{x} + \dfrac{\sin(3x)}{x} + \cdots +\dfrac{\sin(nx)}{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{\sin(x)}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{\sin(2x)}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} + \cdots + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{\sin(nx)}{x}$$
Or, on sait que $$\sin(X) \underset{0}{\sim} X$$, donc en posant $$X=ix$$ (avec $$i$$ qui est un entier naturel qui va de $$1$$ jusqu'à $$n$$) on constate que si $$x \longrightarrow 0$$ alors on a bien $$X=ix \longrightarrow 0$$. Ainsi, on a la relation $$\sin(ix) \underset{0}{\sim} ix$$, et de fait, on peut donc écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{x}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{2x}{x} + \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{3x}{x} + \cdots + \lim_{x \longrightarrow 0}\dfrac{nx}{x}$$
Comme $$x \longrightarrow 0$$ cela signifie que $$x \neq 0$$. Donc, en simplifiant, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} 1 + \lim_{x \longrightarrow 0}2+ \lim_{x \longrightarrow 0} 3 + \cdots + \lim_{x \longrightarrow 0} n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$$
Notons par $$S$$ la somme suivante :
$$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$$
Comme il s'agit d'une succession de $$n$$ additions, on peut l'effectuer dans l'ordre souhaité. On a alors :
$$\bullet \,\,$$ Ordre croissant : $$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$$
$$\bullet \,\,$$ Ordre décroissant : $$S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1$$
En additionnant membre à membre, on trouve que :
$$2S = 1+n + 2 + (n-1) + 3 + (n-2) + \cdots + n + 1 = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots + (1+n) = (1+n) \times (\underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1}_{n \, \mathrm{fois \, le \, nombre} \, 1} ) = (1+n) \times n$$
Ainsi on obtient $$2S = (1+n) \times n$$ et donc $$S = \dfrac{n(1+n)}{2}$$. Finalement, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\sin(ix)}{x} = \dfrac{n(1+n)}{2}$$