Objectif supérieur - Exercice 1

45 min
70
Question 1

Soit aa et bb deux nombres réels positifs.
Calculer la limite suivante : lim⁡x⟶0(ax+bx2)1x\lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}

Correction
0n a :
lim⁡x⟶0(ax+bx2)1x=lim⁡x⟶0eln⁡((ax+bx2)1x)=lim⁡x⟶0e1xln⁡(ax+bx2)\lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0} e^{\ln\left(\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} e^{\frac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)}
Puis, on sait que eX∼01+Xe^X \underset{0}{\sim} 1 + X. Donc on a (avec X=xln⁡(a)X = x\ln(a)) :
ax=eln⁡(ax)=exln⁡(a)∼01+xln⁡(a)a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x\ln(a)} \underset{0}{\sim} 1 + x\ln(a)
Et de même, on trouve que bx=eln⁡(bx)=exln⁡(b)∼01+xln⁡(b)b^x = e^{\ln(b^x)} = e^{x\ln(b)} \underset{0}{\sim} 1 + x\ln(b). Ainsi, on peut écrire que :
ax+bx2∼01+xln⁡(a)+1+xln⁡(b)2=2+x(ln⁡(a)+ln⁡(b))2=22+x(ln⁡(ab)2=1+x2ln⁡(ab)\dfrac{a^x + b^x}{2} \underset{0}{\sim} \dfrac{1 + x\ln(a) + 1 + x\ln(b)}{2} = \dfrac{2 + x\left(\ln(a) + \ln(b)\right)}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{x(\ln(ab)}{2} = 1 + \dfrac{x}{2}\ln(ab)
Ce qui nous donne donc ln⁡(ax+bx2)∼0ln⁡(1+x2ln⁡(ab))\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \ln \left( 1 + \dfrac{x}{2}\ln(ab) \right)
Puis, on sait que ln⁡(1+X)∼0X\ln(1+X) \underset{0}{\sim} X. Donc on a (avec X=x2ln⁡(ab)X = \dfrac{x}{2}\ln(ab)) :
ln⁡(ax+bx2)∼0ln⁡(1+x2ln⁡(ab))∼0x2ln⁡(ab)\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \ln \left( 1 + \dfrac{x}{2}\ln(ab) \right) \underset{0}{\sim} \dfrac{x}{2}\ln(ab)
Ce qui implique que :
1xln⁡(ax+bx2)∼01xx2ln⁡(ab)    ⟺    1xln⁡(ax+bx2)∼012ln⁡(ab)    ⟺    1xln⁡(ax+bx2)∼0ln⁡(ab)\dfrac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{2}\ln(ab) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \dfrac{1}{2}\ln(ab) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \ln\left(\sqrt{ab}\right)
On obtient alors :
e1xln⁡(ax+bx2)∼0eln⁡(ab)    ⟺    e1xln⁡(ax+bx2)∼0ab    ⟺    (ax+bx2)1x∼0abe^{\frac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)} \underset{0}{\sim} e^{\ln\left(\sqrt{ab}\right)} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{\frac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)} \underset{0}{\sim} \sqrt{ab} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} \underset{0}{\sim} \sqrt{ab}
Finalement, on obtient le résultat suivant :
lim⁡x⟶0(ax+bx2)1x=ab\lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \sqrt{ab}

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