Objectif supérieur - Exercice 1

0n a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0} e^{\ln\left(\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} e^{\frac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)}$$
Puis, on sait que $$e^X \underset{0}{\sim} 1 + X$$. Donc on a (avec $$X = x\ln(a)$$) :
$$a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x\ln(a)} \underset{0}{\sim} 1 + x\ln(a)$$
Et de même, on trouve que $$b^x = e^{\ln(b^x)} = e^{x\ln(b)} \underset{0}{\sim} 1 + x\ln(b)$$. Ainsi, on peut écrire que :
$$\dfrac{a^x + b^x}{2} \underset{0}{\sim} \dfrac{1 + x\ln(a) + 1 + x\ln(b)}{2} = \dfrac{2 + x\left(\ln(a) + \ln(b)\right)}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{x(\ln(ab)}{2} = 1 + \dfrac{x}{2}\ln(ab)$$
Ce qui nous donne donc $$\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \ln \left( 1 + \dfrac{x}{2}\ln(ab) \right)$$
Puis, on sait que $$\ln(1+X) \underset{0}{\sim} X$$. Donc on a (avec $$X = \dfrac{x}{2}\ln(ab)$$) :
$$\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \ln \left( 1 + \dfrac{x}{2}\ln(ab) \right) \underset{0}{\sim} \dfrac{x}{2}\ln(ab)$$
Ce qui implique que :
$$\dfrac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{2}\ln(ab) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \dfrac{1}{2}\ln(ab) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) \underset{0}{\sim} \ln\left(\sqrt{ab}\right)$$
On obtient alors :
$$e^{\frac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)} \underset{0}{\sim} e^{\ln\left(\sqrt{ab}\right)} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{\frac{1}{x}\ln\left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)} \underset{0}{\sim} \sqrt{ab} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} \underset{0}{\sim} \sqrt{ab}$$
Finalement, on obtient le résultat suivant :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \sqrt{ab}$$