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Limites usuelles en LN et EXP - Exercice 1

20 min
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1) Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}
2) En déduire que : ln⁡(1+x)∼0x\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x
3) Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶0ex−1x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x}
4) En déduire que : ex∼01+xe^{x} \underset{0}{\sim} 1 + x
Question 1

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}

Correction
On a :
lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)x=lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)−0x=lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)−ln⁡(1)x=lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)−ln⁡(1+0)x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - 0}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - \ln(1 + 0)}{x}
Or, la l'expression f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1+x) est dérivable à l'origine. Ce qui nous permet d'affirmer l'existence de f′(0)f'(0). On a alors :
lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)x=lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)−ln⁡(1+0)x=f′(0)\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - \ln(1 + 0)}{x} = f'(0)
Avec :
f′(x)=(ln⁡(1+x))′=11+x    ⟹    f′(0)=11+0=11=1f'(x) = \left(\ln(1+x) \right)' = \dfrac{1}{1+x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f'(0) = \dfrac{1}{1+0} = \dfrac{1}{1} = 1
Ce qui nous donne donc :
lim⁡x⟶0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1
Question 2

En déduire que : ln⁡(1+x)∼0x\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x

Correction
Le résultat précédent, est par définition, la traduction de l'équivalence suivante :
ln⁡(1+x)∼0x\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x
Question 3

Déterminer la limite suivante : lim⁡x⟶0ex−1x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x}

Correction
On a :
lim⁡x⟶0ex−1x=lim⁡x⟶0ex−e0x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - e^0}{x}
Cependant, la fonction exponentielle est dérivable sur R\mathbb{R}, ce qui implique que :
lim⁡x⟶0ex−1x=lim⁡x⟶0ex−e0x=(ex)x=0′\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - e^0}{x} = \left( e^x \right)'_{x=0}
Puis, on sait que (ex)′=ex\left( e^x \right)' = e^x ce qui implique que (ex)x=0′=e0=1\left( e^x \right)'_{x=0} = e^0 = 1. Ainsi, on trouve le résultat suivant :
lim⁡x⟶0ex−1x=1\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = 1
Question 4

En déduire que : ex∼01+xe^{x} \underset{0}{\sim} 1 + x

Correction
Le résultat précédent, est par définition, la traduction de l'équivalence suivante :
ex−1∼0xe^x - 1 \underset{0}{\sim} x
En additionnant 11 des deux côtés de cette relation, on trouve que :
ex−1+1∼0x+1e^x - 1 + 1 \underset{0}{\sim} x + 1
Finalement, on obtient :
ex∼01+xe^x \underset{0}{\sim} 1 + x

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