Comme si vous étiez en Prépa ! - Exercice 1

20 min
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Un dernier exercice, pour simuler l'exigence de l'enseignement supérieur.
Question 1
Déterminer la limite suivante :

lim⁡x⟶0e1+sin⁡(x)−etan⁡(x)\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)}

Correction
Nous allons faire usage des équivalences usuelles en 00, à savoir pour XX réel :
  • sin⁡(X)∼0X\sin(X) \underset{0}{\sim} X
  • tan⁡(X)∼0X \tan(X) \underset{0}{\sim} X
  • 1+X∼01+12X \sqrt{1+X} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}X
  • eX∼01+X e^X \underset{0}{\sim} 1 + X
    • On a alors :
    lim⁡x⟶0e1+sin⁡(x)−etan⁡(x)=lim⁡x⟶0e1+x−ex=lim⁡x⟶0e(1+12x)−ex=lim⁡x⟶0e1 e12x−ex=lim⁡x⟶0e e12x−ex=lim⁡x⟶0e(e12x−1)x=elim⁡x⟶0e12x−1x\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + x}} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\left(1 + \frac{1}{2}x \right)} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^1 \, e^{\frac{1}{2}x} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e \, e^{\frac{1}{2}x} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e \left( e^{\frac{1}{2}x} - 1 \right)}{x} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\frac{1}{2}x} - 1 }{x}
    Or, d'après l'équivalence eX∼01+Xe^X \underset{0}{\sim} 1 + X, avec X=12xX = \dfrac{1}{2}x, on a :
    e12x∼01+12xe^{\frac{1}{2}x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x
    Donc, on en déduit que :
    lim⁡x⟶0e1+sin⁡(x)−etan⁡(x)=elim⁡x⟶01+12x−1x=elim⁡x⟶012xx\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}x - 1 }{x} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x }{x}
    Comme x⟶0x \longrightarrow 0, cela signifie que x≠0x \neq 0, et de fait il est possible de simplifier par xx. On a alors :
    lim⁡x⟶0e1+sin⁡(x)−etan⁡(x)=elim⁡x⟶0121=elim⁡x⟶012=e×12\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2} }{1} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{2} = e \times \dfrac{1}{2}
    Finalement :
    lim⁡x⟶0e1+sin⁡(x)−etan⁡(x)=e2{\color{red}{\boxed{\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = \dfrac{e}{2}}}}

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