Ca se complique ! - Exercice 1

45 min
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Question 1

Soit aa un nombre réel, et bb un nombre réel non nul. Calculer la limite suivante :
lim⁡x⟶0ln⁡(cos⁡(ax))ln⁡(cos⁡(bx))\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left( \cos(bx) \right)}}

Correction
On sait que cos⁡(x)∼01−12x2\cos(x) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2 ce qui implique que :
cos⁡(ax)∼01−12a2x2\cos(ax) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}a^2x^2 et cos⁡(bx)∼01−12b2x2\cos(bx) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}b^2x^2
Ce qui implique que :
lim⁡x⟶0ln⁡(cos⁡(ax))ln⁡(cos⁡(bx))=lim⁡x⟶0ln⁡(1−12a2x2)ln⁡(1−12b2x2)\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left(\cos(bx) \right)}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}a^2x^2 \right)}{\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}b^2x^2 \right)}}
De plus, on sait que ln⁡(1+x)∼0x\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x. Ce qui implique que :
ln⁡(1−12a2x2)∼0−12a2x2\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}a^2x^2 \right) \underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{2}a^2x^2 et ln⁡(1−12b2x2)∼0−12b2x2\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}b^2x^2 \right) \underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{2}b^2x^2
Ce qui nous permet d'écrire que :
lim⁡x⟶0ln⁡(cos⁡(ax))ln⁡(cos⁡(bx))=lim⁡x⟶0−12a2x2−12b2x2=lim⁡x⟶0−12a2−12b2=a2b2=(ab)2\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left(\cos(bx) \right)}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{- \dfrac{1}{2}a^2x^2 }{- \dfrac{1}{2}b^2x^2}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{- \dfrac{1}{2}a^2 }{- \dfrac{1}{2}b^2}} = \sqrt{\dfrac{a^2 }{b^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2}
Or pour tout nombre réel XX on sait que (X)2=∣X∣\sqrt{(X)^2} = |X|. Ce qui implique que nous puissions finalement écrire que :
lim⁡x⟶0ln⁡(cos⁡(ax))ln⁡(cos⁡(bx))=∣ab∣\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left(\cos(bx) \right)}} = \left|\dfrac{a}{b}\right|

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