Ca se complique ! - Exercice 1

On sait que $$\cos(x) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}x^2$$ ce qui implique que :
$$\cos(ax) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}a^2x^2$$ et $$\cos(bx) \underset{0}{\sim} 1 - \dfrac{1}{2}b^2x^2$$
Ce qui implique que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left(\cos(bx) \right)}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}a^2x^2 \right)}{\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}b^2x^2 \right)}}$$
De plus, on sait que $$\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x$$. Ce qui implique que :
$$\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}a^2x^2 \right) \underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{2}a^2x^2$$ et $$\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2}b^2x^2 \right) \underset{0}{\sim} - \dfrac{1}{2}b^2x^2$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left(\cos(bx) \right)}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{- \dfrac{1}{2}a^2x^2 }{- \dfrac{1}{2}b^2x^2}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{- \dfrac{1}{2}a^2 }{- \dfrac{1}{2}b^2}} = \sqrt{\dfrac{a^2 }{b^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2}$$
Or pour tout nombre réel $$X$$ on sait que $$\sqrt{(X)^2} = |X|$$. Ce qui implique que nous puissions finalement écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt{\dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left(\cos(bx) \right)}} = \left|\dfrac{a}{b}\right|$$