Approximation afine et racine carrée - Exercice 1

On sait que $$f(x)=\sqrt{1+x}$$, et comme $$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}$$, on obtient alors $$\sqrt{1 + a+h} = \sqrt{1 + a} + h \, \dfrac{1}{2\sqrt{1+a}} + e(h)$$. Posons $$a = 0$$, dans ce cas, on obtient $$\sqrt{1 + h} = \sqrt{1} + h \, \dfrac{1}{2\sqrt{1}} + e(h)$$. Or, $$\sqrt{1} = 1$$. Ceci nous donne $$\sqrt{1 + h} = 1 + h \, \dfrac{1}{2} + e(h)$$. Ainsi, en passant à la limite lorsque $$h \longrightarrow 0$$, on a donc $$\lim_{h \longrightarrow 0} e(h) = 0$$, et de fait, on trouve que $$\sqrt{1 + h} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}h$$. Finalement, en posant $$h=x$$, on trouve que : $$\sqrt{1 + x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x$$.

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x} - 1}{1} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x} - 1\right) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} -\lim_{x \longrightarrow 0^+} 1 = + \infty + \dfrac{1}{2} \times 0^+ - 1 = +\infty - 1$$
Finalement, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = +\infty$$

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \phi$$
En effet, lorsque $$x \longrightarrow 0^-$$ cela signifiie que $$x<0$$, et de fait le terme $$\sqrt{x}$$ n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{x}}{x}} + 1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}} + 1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}} + 1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}}$$
Posons alors $$X = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$$, comme $$x \longrightarrow + \infty$$ cela implique que $$X \longrightarrow 0^+$$. On obtient alors :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1 + X} + 1}{\sqrt{1+X^2}} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}X + 1}{1+\dfrac{1}{2}X^2} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{2 + \dfrac{1}{2}X}{1+\dfrac{1}{2}X^2} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{4 + X}{2+X^2} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{4 + 0}{2+0^2}$$
Finalement, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = 2$$