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Lire des limites dans un tableau de variation - Exercice 5

5 min
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Voici la représentation graphique d’une fonction ff.
Question 1

Donnez les valeurs de toutes les limites. Que pouvons nous en déduire graphiquement?

Correction
Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
D'après la représentation graphique , on lit :
lim⁡x→−∞f(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =0 et lim⁡x→+∞f(x)=−1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =-1
Comme lim⁡x→−∞f(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =0 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=0y=0
Comme lim⁡x→+∞f(x)=−1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =-1 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=−1y=-1
Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Ainsi :
lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim\limits_{x\to 0^{-} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0
lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim\limits_{x\to 0^{+} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0
lim⁡x→2−f(x)=+∞\lim\limits_{x\to 2^{-} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2
lim⁡x→2+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to 2^{+} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2