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Lever une forme indéterminée avec des quotients de polynômes - Exercice 1

5 min
15
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞3x+52x+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1}

Correction
lim⁡x→−∞3x+5=+∞lim⁡x→−∞2x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞3x+52x+1=lim⁡x→−∞3x2x=lim⁡x→−∞32=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1}= \lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x}{2x}= \lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{2}=\frac{3}{2}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x+52x+1=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\frac{3}{2}

Question 2

lim⁡x→+∞2x−1x2+x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}

Correction
lim⁡x→+∞2x−1=+∞lim⁡x→+∞x2+x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞2x−1x2+x=lim⁡x→+∞2xx2=lim⁡x→+∞2x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x}{x^{2} } =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}=0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

lim⁡x→−∞3x2−xx+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1}

Correction
lim⁡x→−∞3x2−x=+∞lim⁡x→−∞x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{2}-x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=lim⁡x→−∞3x2x=lim⁡x→−∞3x1=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x}{1}=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}

Correction
lim⁡x→+∞x2+3=+∞lim⁡x→+∞x2+x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞x2x2=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}}{x^{2}}=1
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =1

Question 5

lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}

Correction
lim⁡x→−∞3x3+5x=−∞lim⁡x→−∞x4+2x3+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{3}+5x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=lim⁡x→−∞3x3x4=lim⁡x→−∞3x=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}}{x^{4}}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x}=0
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =0