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Limites de fonctions : tout ce qu'il faut retenir de la Terminale
Lever une forme indéterminée avec des quotients de polynômes - Exercice 1
5 min
15
Calculer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
−
∞
3
x
+
5
2
x
+
1
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1}
x
→
−
∞
lim
2
x
+
1
3
x
+
5
Correction
lim
x
→
−
∞
3
x
+
5
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
2
x
+
1
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
3
x
+
5
x
→
−
∞
lim
2
x
+
1
=
=
+
∞
+
∞
}
on obtient une forme indéterminée
∞
∞
\frac{\infty }{\infty }
∞
∞
Au voisinage de
+
∞
+\infty
+
∞
et de
−
∞
-\infty
−
∞
un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim
x
→
−
∞
3
x
+
5
2
x
+
1
=
lim
x
→
−
∞
3
x
2
x
=
lim
x
→
−
∞
3
2
=
3
2
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1}= \lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x}{2x}= \lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{2}=\frac{3}{2}
x
→
−
∞
lim
2
x
+
1
3
x
+
5
=
x
→
−
∞
lim
2
x
3
x
=
x
→
−
∞
lim
2
3
=
2
3
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
x
→
−
∞
3
x
+
5
2
x
+
1
=
3
2
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\frac{3}{2}
x
→
−
∞
lim
2
x
+
1
3
x
+
5
=
2
3
Question 2
lim
x
→
+
∞
2
x
−
1
x
2
+
x
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
2
x
−
1
Correction
lim
x
→
+
∞
2
x
−
1
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
2
+
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
2
x
−
1
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
=
=
+
∞
+
∞
}
on obtient une forme indéterminée
∞
∞
\frac{\infty }{\infty }
∞
∞
Au voisinage de
+
∞
+\infty
+
∞
et de
−
∞
-\infty
−
∞
un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim
x
→
+
∞
2
x
−
1
x
2
+
x
=
lim
x
→
+
∞
2
x
x
2
=
lim
x
→
+
∞
2
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x}{x^{2} } =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}=0
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
2
x
−
1
=
x
→
+
∞
lim
x
2
2
x
=
x
→
+
∞
lim
x
2
=
0
On rappelle que :
N
o
m
b
r
e
∞
=
0
\frac{Nombre}{\infty } =0
∞
N
o
mb
re
=
0
.
Question 3
lim
x
→
−
∞
3
x
2
−
x
x
+
1
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1}
x
→
−
∞
lim
x
+
1
3
x
2
−
x
Correction
lim
x
→
−
∞
3
x
2
−
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
x
+
1
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{2}-x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
3
x
2
−
x
x
→
−
∞
lim
x
+
1
=
=
+
∞
−
∞
}
on obtient une forme indéterminée
∞
∞
\frac{\infty }{\infty }
∞
∞
Au voisinage de
+
∞
+\infty
+
∞
et de
−
∞
-\infty
−
∞
un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim
x
→
−
∞
3
x
2
−
x
x
+
1
=
lim
x
→
−
∞
3
x
2
x
=
lim
x
→
−
∞
3
x
1
=
−
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x}{1}=-\infty
x
→
−
∞
lim
x
+
1
3
x
2
−
x
=
x
→
−
∞
lim
x
3
x
2
=
x
→
−
∞
lim
1
3
x
=
−
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
x
→
−
∞
3
x
2
−
x
x
+
1
=
−
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =-\infty
x
→
−
∞
lim
x
+
1
3
x
2
−
x
=
−
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
x
2
+
3
x
2
+
x
+
1
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
+
1
x
2
+
3
Correction
lim
x
→
+
∞
x
2
+
3
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
2
+
x
+
1
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
2
+
3
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
+
1
=
=
+
∞
+
∞
}
on obtient une forme indéterminée
∞
∞
\frac{\infty }{\infty }
∞
∞
Au voisinage de
+
∞
+\infty
+
∞
et de
−
∞
-\infty
−
∞
un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim
x
→
+
∞
x
2
+
3
x
2
+
x
+
1
=
lim
x
→
+
∞
x
2
x
2
=
1
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}}{x^{2}}=1
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
+
1
x
2
+
3
=
x
→
+
∞
lim
x
2
x
2
=
1
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
x
→
+
∞
x
2
+
3
x
2
+
x
+
1
=
1
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =1
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
+
1
x
2
+
3
=
1
Question 5
lim
x
→
−
∞
3
x
3
+
5
x
x
4
+
2
x
3
+
1
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}
x
→
−
∞
lim
x
4
+
2
x
3
+
1
3
x
3
+
5
x
Correction
lim
x
→
−
∞
3
x
3
+
5
x
=
−
∞
lim
x
→
−
∞
x
4
+
2
x
3
+
1
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{3}+5x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
3
x
3
+
5
x
x
→
−
∞
lim
x
4
+
2
x
3
+
1
=
=
−
∞
+
∞
}
on obtient une forme indéterminée
∞
∞
\frac{\infty }{\infty }
∞
∞
Au voisinage de
+
∞
+\infty
+
∞
et de
−
∞
-\infty
−
∞
un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim
x
→
−
∞
3
x
3
+
5
x
x
4
+
2
x
3
+
1
=
lim
x
→
−
∞
3
x
3
x
4
=
lim
x
→
−
∞
3
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}}{x^{4}}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x}=0
x
→
−
∞
lim
x
4
+
2
x
3
+
1
3
x
3
+
5
x
=
x
→
−
∞
lim
x
4
3
x
3
=
x
→
−
∞
lim
x
3
=
0
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
x
→
−
∞
3
x
3
+
5
x
x
4
+
2
x
3
+
1
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =0
x
→
−
∞
lim
x
4
+
2
x
3
+
1
3
x
3
+
5
x
=
0