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Vers la Prépa (2) - Exercice 1

30 min
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Vous allez devoir suivre la méthode de la séparation des variables. Il s'agit d'une méthode répandue dans l'enseignement supérieur car nombreuses sont les équations différentielles non-linéaires.
Question 1
On considère l'équation différentielle non linéaire (E)(E) suivante :
(E)  :y′y−2y3=0(E) \,\, : y' y - 2 y^3 = 0

Trouvez l'ensemble des solutions de l'équation (E)(E) en utilisant la méthode de séparations des varables.

Correction
On a :
(E)  :y′y−2y3=0(E) \,\, : y' y - 2 y^3 = 0
Soit :
y(y′−2y2)=0y \left( y' - 2 y^2 \right) = 0
En supposant que yy soit non nulle, on en déduit que :
y′−2y2=0y' - 2 y^2 = 0
Donc :
y′=2y2y' = 2 y^2
Ainsi :
y′y2=2 dx\dfrac{y'}{y^2} = 2 \, dx
En primitivant :
∫y′y2=∫2 dx    ⟺    −∫−y′y2=2 ∫1dx    ⟺    −1y=2x+k  (k∈R)\int \dfrac{y'}{y^2} = \int 2 \, dx \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -\int \dfrac{-y'}{y^2} = 2 \, \int 1 dx \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -\dfrac{1}{y} = 2x + k \,\, (k \in \mathbb{R})
Ce qui nous donne :
1y=−2x−k\dfrac{1}{y} = - 2x - k
Finalement, on trouve que les solutions de (E)(E) sont de la forme mathématique :
y(x)=1−2x+C    (C=−k∈R){\color{red}{\boxed{y(x) = \dfrac{1}{-2x + C} \,\,\,\, (C=-k \in \mathbb{R})}}}

Question 2

En déduire l'unique solution si l'on se donne la condition y(1)=1y(1) = 1.

Correction
On a la condition y(1)=1y(1) = 1. Soit :
y(1)=1−2×1+C    (C=∈R)y(1) = \dfrac{1}{-2\times 1 + C} \,\,\,\, (C=\in \mathbb{R})
Ce qui nous donne :
1=1−2+C    (C=∈R)1 = \dfrac{1}{-2 + C} \,\,\,\, (C=\in \mathbb{R})
En inversant :
1=−2+C1 = -2 + C
Donc :
C=1+2=3C = 1 + 2 = 3
Finalement, la solution recherchée est donnée par :
y(x)=13−2x{\color{red}{\boxed{y(x) = \dfrac{1}{3 - 2x}}}}