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Savoir bien observer - Exercice 1

30 min
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Avant tout, pour débuter un exercice, et mettre en place une stratégie de résolution, il faut au préalable OBSERVER ! L'intuition est loin d'être l'essentiel en Mathématiques. Le travail, et l'acquisition des méthodes, sont des prérequis essentiels. Mais avant tout, il faut observer et réfléchir. La prise d'initiative est alors une suite logique.
Question 1
On considère l'équation différentielle suivante :
y′2+2yy′+y2=0y'^2 +2yy'+y^2 = 0

Résoudre l'équation différentielle précédente.

Correction
L'équation différentielle proposée peut encore s'écrire :
y′2+2yy′+y2=0    ⟺    (y′+y)2=0    ⟹    y′+y=0y'^2 +2yy'+y^2 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (y' + y)^2 = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y' + y = 0
Soit encore :
y′=−y    ⟺    y′y=−1    ⟺    (ln⁡y)′=−1    ⟺    ln⁡y(x)=−x+k   (k∈R)y' = - y \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{y'}{y} = -1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (\ln y)' = -1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln y(x) = -x + k \,\,\, (k \in \mathbb{R})
D'où :
y(x)=e−x+k    ⟺    y(x)=e−x eky(x) = e^{-x + k} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y(x) = e^{-x} \, e^k
En posant A=ek∈RA=e^k \in \mathbb{R}, on trouve que :
y(x)=Ae−xy(x) = A e^{-x}