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Fonction dérivée - Exercice 1

20 min
30
Soit ff une fonction numérique dont l'image est donnée par :
f(x)=x2+3sin⁡(x)−x+πxf(x) = \dfrac{x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}}{\sqrt{x}}
Question 1

Déterminer, pour x>0x>0, l'expression de sa fonction dérivée f′f'.

Correction
On a, avec la formule de dérivation d'un quotient :
f′(x)=(x2+3sin⁡(x)−x+πx)′=(x2+3sin⁡(x)−x+π)′x−(x2+3sin⁡(x)−x+π) (x)′x2f'(x) = \left(\dfrac{x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}}{\sqrt{x}} \right)'= \dfrac{\left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)'\sqrt{x} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\left( \sqrt{x}\right)'}{\sqrt{x}^2}
Ce qui nous donne :
f′(x)=((x2)′+3(sin⁡(x))′−(x+π)′)x−(x2+3sin⁡(x)−x+π) (x)′x2=(2x+3cos⁡(x)−(x+π)′2x+π)x−(x2+3sin⁡(x)−x+π) 12xxf'(x) = \dfrac{\left((x^2)'+3(\sin(x))'-(\sqrt{x+\pi})'\right)\sqrt{x} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\left( \sqrt{x}\right)'}{\sqrt{x}^2} = \dfrac{\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{(x+\pi)'}{2\sqrt{x+\pi}}\right)\sqrt{x} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}
Soit :
f′(x)=(2x+3cos⁡(x)−12x+π)2x2x−(x2+3sin⁡(x)−x+π) 12xx=(2x+3cos⁡(x)−12x+π)2x−(x2+3sin⁡(x)−x+π)2xxf'(x) = \dfrac{\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+\pi}}\right)\dfrac{2x}{2\sqrt{x}} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+\pi}}\right)2x - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)}{2x\sqrt{x}}
En multipliant le numérateur, et le dénominateur par le terme x+π\sqrt{x+\pi}, on obtient :
f′(x)=((2x+3cos⁡(x)−12x+π)2x−(x2+3sin⁡(x)−x+π))x+π2xxx+π=(4x2+6xcos⁡(x)−xx+π−(x2+3sin⁡(x)−x+π))x+π2xxx+πf'(x) = \dfrac{\left(\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+\pi}}\right)2x - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right) \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(4x^2+6x\cos(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right) \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}
Ce qui nous donne aussi :
f′(x)=(4x2+6xcos⁡(x)−xx+π−x2−3sin⁡(x)+x+π)x+π2xxx+π=(3x2+6xcos⁡(x)−xx+π−3sin⁡(x)+x+π)x+π2xxx+πf'(x) = \dfrac{\left(4x^2+6x\cos(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} - x^2-3\sin(x)+\sqrt{x+\pi} \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} -3\sin(x)+\sqrt{x+\pi} \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}
Soit encore :
f′(x)=(3x2+6xcos⁡(x)−3sin⁡(x))x+π+(−xx+π+x+π)x+π2xxx+π=(3x2+6xcos⁡(x)−3sin⁡(x))x+π+(−xx+πx+π+x+π2)2xxx+πf'(x) = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \left(-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} +\sqrt{x+\pi} \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \left(-\dfrac{x\sqrt{x+\pi}}{\sqrt{x+\pi}} +\sqrt{x+\pi}^2 \right)}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}
Ce qui nous permet d'écrire que :
f′(x)=(3x2+6xcos⁡(x)−3sin⁡(x))x+π+(−x+x+π)2xxx+π=(3x2+6xcos⁡(x)−3sin⁡(x))x+π+π2xxx+πf'(x) = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \left(-x + x+\pi \right)}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \pi }{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}
Enfin, comme xx=x32x\sqrt{x} = x^\frac{3}{2}, on trouve finalement que :
f′(x)=x+π(3x2+6xcos⁡(x)−3sin⁡(x))+π2x32x+πf'(x) = \dfrac{\sqrt{x+\pi}\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right) + \pi }{2x^\frac{3}{2}\sqrt{x+\pi}}