Dérivabilité en un point d'une fonction numérique - Exercice 1

$$\red{\text{Etude de la dérivabilité en}}$$ $$\red{x = 0 :}$$
Etudions la limite suivante (associée à la définition de la dérivabilité en un point) :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)}-\sqrt[3]{0^2 \left( 0 - 1 \right)}}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)}-0}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\dfrac{x^2 \left( x - 1 \right)}{x^3}}$$
Comme $$x \longrightarrow 0$$ cela signifie que $$x \neq 0$$, on va pouvoir simplifier par $$x^2$$. On obtient alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\dfrac{x - 1}{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\dfrac{- 1}{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{-1}{\sqrt[3]{x}} = - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$$.
Donc, en distinguant les cas $$x \longrightarrow 0^+$$ et $$x \longrightarrow 0^-$$, on trouve alors que :
$$\,\,\,\, \looparrowright \,\, \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = - \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = - \times +\infty = - \infty$$
$$\,\,\,\, \looparrowright \,\, \lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = - \lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = - \times -\infty = + \infty$$
Ces deux résultats étant des valeurs réelles non finies, on en déduit que la fonction $$f$$ est non dérivable en $$x=0$$. Il y a existence de deux tangentes verticales.

$$\red{\text{Etude de la dérivabilité en}}$$ $$\red{x = \dfrac{2}{3} :}$$
Etudions la limite suivante (associée à la définition de la dérivabilité en un point) :
$$\lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{f(x)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)}{x-\dfrac{2}{3}} = \lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)} - \sqrt[3]{\left( \dfrac{2}{3} \right)^2 \left( \dfrac{2}{3} - 1 \right)}}{x-\dfrac{2}{3}} = \lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)} - \sqrt[3]{-\dfrac{4}{27}}}{x-\dfrac{2}{3}} = \lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)} - \sqrt[3]{-\dfrac{4}{3^3}}}{x-\dfrac{2}{3}} =\lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)} - \dfrac{\sqrt[3]{-4}}{3}}{x-\dfrac{2}{3}}$$
Comme $$\sqrt[3]{-4} = \sqrt[3]{-1 \times 4} = \sqrt[3]{-1} \times \sqrt[3]{4}= - \sqrt[3]{4}$$, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{f(x)-f\left(\frac{2}{3}\right)}{x-\dfrac{2}{3}} =\lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{x-\dfrac{2}{3}}$$
Pour déterminer cette limite on va poser $$h = x - \dfrac{2}{3}$$, ainsi $$x = h + \dfrac{2}{3}$$. Comme $$x \longrightarrow \frac{2}{3}$$ alors $$h \longrightarrow 0$$. On obtient alors :
$$\lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{f(x)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)}{x-\dfrac{2}{3}} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{\left( h + \dfrac{2}{3} \right)^2 \left( h + \dfrac{2}{3} - 1 \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{h} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{\left( 0 + \dfrac{2}{3} \right)^2 \left( 0 + \dfrac{2}{3} - 1 \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{h} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{\left( \dfrac{2}{3} \right)^2 \left( -\dfrac{1}{3} \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{h} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{4}{9} \left( -\dfrac{1}{3} \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{h}$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{x \longrightarrow \frac{2}{3}} \dfrac{f(x)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)}{x-\dfrac{2}{3}} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{-\dfrac{4}{27} } + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{h} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{-\dfrac{\sqrt[3]{4}}{3} + \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}}{h} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{0}{h} = \lim_{h \longrightarrow 0} 0 = 0 \in \mathbb{R}$$
Ainsi la dérivée de $$f$$, en $$x = \dfrac{2}{3}$$, est nulle. Donc, en $$x = \dfrac{2}{3}$$ la fonction admet un extremum. Il y a une tangente horizontale.

$$\red{\text{Etude de la dérivabilité en}}$$ $$\red{x = 1:}$$
Etudions la limite suivante (associée à la définition de la dérivabilité en un point) :
$$\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)}-\sqrt[3]{1^2 \left( 1 - 1 \right)}}{x-1} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2 \left( x - 1 \right)}-0}{x-1} = \lim_{x \longrightarrow 1} \sqrt[3]{\dfrac{x^2 \left( x - 1 \right)}{(x-1)^3}}$$
Comme $$x \longrightarrow 1$$ cela signifie que $$x \neq 1$$, et donc que $$x-1 \neq 0$$, on va pouvoir simplifier par $$(x-1)$$. On obtient alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \longrightarrow 1} \sqrt[3]{\dfrac{x^2}{(x-1)^2}} = \lim_{x \longrightarrow 1} \sqrt[3]{\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2}$$.
Pour déterminer cette limite on va poser $$h = x - 1$$, ainsi $$x = h + 1$$. Comme $$x \longrightarrow 1$$ alors $$h \longrightarrow 0$$. On obtient alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{h \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\left(\dfrac{h+1}{h}\right)^2} = \lim_{h \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\left(\dfrac{0+1}{h}\right)^2} = \lim_{h \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{h}\right)^2} = \lim_{h \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\dfrac{1^2}{h^2}} = \lim_{h \longrightarrow 0} \sqrt[3]{\dfrac{1}{h^2}} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{h^2}} = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt[3]{h^2}} = + \infty$$.
La présence de la puissance $$2$$ sur le $$h$$ fait que le signe de $$h$$ n'influence pas le résultat final. Que l'on ait $$x \longrightarrow 0^+$$, ou $$x \longrightarrow 0^-$$, on trouve alors le même résultat, à savoir $$+\infty$$.
Ce résultat étant une valeur réelle non finie, on en déduit que la fonction $$f$$ est non dérivable en $$x=1$$. Il y a existence d'une tangente verticale.