Calcul d'une fonction dérivée (6) - Exercice 1

Soit $$x \in \left[-\dfrac{1}{2} \,;\,\dfrac{1}{2} \right]$$. La fonction dérivée $$f$$ dont l'image fonctionnelle est
$$f(x) = \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
est de la forme
$$f(x) = \sqrt{g(x)}$$
avec :
$$g(x) = \dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}$$
Cette fonction $$g$$ n'est jamais nulle sur l'intervalle considéré $$\left[-\dfrac{1}{2} \,;\,\dfrac{1}{2} \right]$$.
Ainsi, la dérivée $$f'$$ va prendre la forme suivante :
$$f'(x) = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} = \dfrac{g'(x)}{2g(x)}\sqrt{g(x)}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$f'(x) = \dfrac{\left( \dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)} \right)'}{2\times \dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\dfrac{\left(\sin(x^2) + \cos(x^2)\right)' \times (\sin(x^2) - \cos(x^2)) - (\sin(x^2) + \cos(x^2)) \times \left(\sin(x^2) - \cos(x^2)\right)'}{\left(\sin(x^2) - \cos(x^2) \right)^2}}{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Ce qui nous donne, avec $$\left(\sin(x^2) + \cos(x^2)\right)' = \left(\sin(x^2)\right)' + \left(\cos(x^2)\right)' = (x^2)'\cos(x^2) - (x^2)'\sin(x^2) = 2x \cos(x^2) - 2x \sin(x^2) = 2x \left( \cos(x^2) - \sin(x^2) \right)$$ et aussi l'autre dérivée présente $$\left(\sin(x^2) - \cos(x^2)\right)' = \left(\sin(x^2)\right)' - \left(\cos(x^2)\right)' = (x^2)'\cos(x^2) + (x^2)'\sin(x^2) = 2x \cos(x^2) + 2x \sin(x^2) = 2x \left( \cos(x^2) + \sin(x^2) \right)$$, l'expression suivante :
$$f'(x) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\dfrac{2x \left( \cos(x^2) - \sin(x^2) \right) \times (\sin(x^2) - \cos(x^2)) - (\sin(x^2) + \cos(x^2)) \times 2x \left( \cos(x^2) + \sin(x^2) \right)}{\left(\sin(x^2) - \cos(x^2) \right)^2}}{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = x\dfrac{\dfrac{\left( \cos(x^2) - \sin(x^2) \right)^2 - \left( \cos(x^2) + \sin(x^2) \right)^2}{\left(\sin(x^2) - \cos(x^2) \right)^2}}{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
D'où :
$$f'(x) = x\dfrac{\dfrac{\cos^2(x^2) - 2\cos(x^2)\sin(x^2) + \sin^2(x^2) - \cos^2(x^2) - 2\cos(x^2)\sin(x^2) - \sin^2(x^2) }{\left(\sin(x^2) - \cos(x^2) \right)^2}}{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Soit encore après simplification :
$$f'(x) = x \dfrac{\dfrac{- 4\cos(x^2)\sin(x^2)}{\left(\sin(x^2) - \cos(x^2) \right)^2}}{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Or, $$x \in \left[-\dfrac{1}{2} \,;\,\dfrac{1}{2} \right]$$ ce qui implique que $$\sin(x^2) - \cos(x^2) \neq 0$$. De ce fait, on peut effectuer la simplification par ce terme, et obtenir :
$$f'(x) = x \dfrac{\dfrac{- 4\cos(x^2)\sin(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{1}} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Soit :
$$f'(x) = -2x \dfrac{2\cos(x^2)\sin(x^2)}{\left( \sin(x^2) - \cos(x^2) \right) \times \left( \sin(x^2) + \cos(x^2) \right)} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} = -2x \dfrac{2\cos(x^2)\sin(x^2)}{\sin^2(x^2) + \sin(x^2)\cos(x^2) - \cos(x^2)\sin(x^2) - \cos^2(x^2)} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
En simplifiant, on obtient :
$$f'(x) = -2x \dfrac{2\cos(x^2)\sin(x^2)}{\sin^2(x^2) - \cos^2(x^2)} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}= -2x \dfrac{2\cos(x^2)\sin(x^2)}{\sin^2(x^2) - \cos^2(x^2) + \cos^2(x^2) - \cos^2(x^2)} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}} = -2x \dfrac{2\cos(x^2)\sin(x^2)}{1 - 2\cos^2(x^2)} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$
Puis, on sait que pour tout $$X$$ réel, on a $$2\cos(X)\sin(X) = \sin(2X)$$. D'où :
$$f'(x) = - 2x \dfrac{\sin(2x^2)}{1 - 2\cos^2(x^2)} \sqrt{\dfrac{\sin(x^2) + \cos(x^2)}{\sin(x^2) - \cos(x^2)}}$$