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Calcul d'une fonction dérivée (5) - Exercice 1

35 min
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Question 1

Soit x∈[−1 ; 1]x \in \left[-1 \,;\,1 \right]. Calculer la fonction dérivée f′f' de l'image fonctionnelle suivante :
f(x)=sin⁡(cos⁡(tan⁡(x2)))f(x) = \sin\left( \cos\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \right)

Correction
Soit x∈[−1 ; 1]x \in \left[-1 \,;\,1 \right]. La fonction dérivée f′f' est donnée par :
f′((x)=(sin⁡(cos⁡(tan⁡(x2))))′=(cos⁡(tan⁡(x2)))′×cos⁡(cos⁡(tan⁡(x2)))=−(tan⁡(x2))′×sin⁡(tan⁡(x2))×cos⁡(cos⁡(tan⁡(x2)))f'((x) = \left(\sin\left( \cos\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \right)\right)' = \left( \cos\left( \tan\left( x^2 \right) \right)\right)' \times \cos\left( \cos\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \right) = - \left( \tan \left( x^2 \right) \right)' \times \sin\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \times \cos\left( \cos\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \right)
Or, on a :
(tan⁡(x2))′=(2x)′×1cos⁡2(x2)=2x×1cos⁡2(x2)=2xcos⁡2(x2)\left( \tan \left( x^2 \right) \right)' = (2x)' \times \dfrac{1}{\cos^2(x^2)} = 2x \times \dfrac{1}{\cos^2(x^2)} = \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)}
On en déduit alors que :
f′((x)=−2xcos⁡2(x2)×sin⁡(tan⁡(x2))×cos⁡(cos⁡(tan⁡(x2)))f'((x) = - \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)} \times \sin\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \times \cos\left( \cos\left( \tan\left( x^2 \right) \right) \right)