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Calcul d'une fonction dérivée (3) - Exercice 1

30 min
45
Soit ff la fonction numérique dont l'image est donnée par l'expression suivante :
f(x)=exx−sin⁡(x)f(x) = e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}
Question 1

Déterminer, pour x≠0x \neq 0, l'expression de la fonction dérivée associée f′f'.

Correction
On a pour x≠0x \neq 0 :
f′(x)=(exx−sin⁡(x))′f'(x) = \left(e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}\right)'
f′(x)=(xx−sin⁡(x))′×exx−sin⁡(x)f'(x) = \left(\dfrac{x}{x - \sin(x)}\right)' \times e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}
f′(x)=((x)′(x−sin⁡(x))−x(x−sin⁡(x))′(x−sin⁡(x))2)×exx−sin⁡(x)f'(x) = \left(\dfrac{(x)'\left(x - \sin(x)\right) - x \left(x - \sin(x)\right)'}{\left(x - \sin(x)\right)^2}\right) \times e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}
f′(x)=(1(x−sin⁡(x))−x(1−cos⁡(x))(x−sin⁡(x))2)×exx−sin⁡(x)f'(x) = \left(\dfrac{1\left(x - \sin(x)\right) - x \left(1 - \cos(x)\right)}{\left(x - \sin(x)\right)^2}\right) \times e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}
Soit encore :
f′(x)=(x−sin⁡(x)−x+xcos⁡(x)(x−sin⁡(x))2)×exx−sin⁡(x)=(−sin⁡(x)+xcos⁡(x)(x−sin⁡(x))2)×exx−sin⁡(x)f'(x) = \left(\dfrac{x - \sin(x) - x + x\cos(x)}{\left(x - \sin(x)\right)^2}\right) \times e^{\frac{x}{x - \sin(x)}} = \left(\dfrac{- \sin(x) + x\cos(x)}{\left(x - \sin(x)\right)^2}\right) \times e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}
Finalement, on trouve que :
f′(x)=(xcos⁡(x)−sin⁡(x)(x−sin⁡(x))2) exx−sin⁡(x)f'(x) = \left(\dfrac{x\cos(x) - \sin(x)}{\left(x - \sin(x)\right)^2}\right) \, e^{\frac{x}{x - \sin(x)}}