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Dérivation : en route vers le supérieur
Calcul d'une fonction dérivée (2) - Exercice 1
20 min
30
Soit
A
A
A
,
ω
\omega
ω
et
λ
\lambda
λ
trois nombres réels strictement positifs, et
φ
\varphi
φ
un nombre réel.
Soit
f
f
f
une fonction numérique de la seule variable
x
x
x
, et dont l'image est donnée par l'expression suivante :
f
(
x
)
=
A
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
f(x) = A \, e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi)
f
(
x
)
=
A
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
Question 1
Déterminer l'expression de la dérivée
f
′
f'
f
′
, parfois notée
d
f
d
x
\dfrac{d \, f}{dx}
d
x
d
f
(notation de Leibniz ou parfois dite "du physicien")
Correction
On a :
f
′
(
x
)
=
(
A
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
)
′
=
A
×
(
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
)
′
=
A
×
(
(
e
−
λ
x
)
′
cos
(
ω
x
+
φ
)
+
e
−
λ
x
(
cos
(
ω
x
+
φ
)
)
′
)
f'(x) = \left(A \, e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) \right)' = A \times \left(e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) \right)' = A \times \left(\left(e^{-\lambda x}\right)' \, \cos(\omega x + \varphi) + e^{-\lambda x} \, \left(\cos(\omega x + \varphi)\right)'\right)
f
′
(
x
)
=
(
A
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
)
′
=
A
×
(
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
)
′
=
A
×
(
(
e
−
λ
x
)
′
cos
(
ω
x
+
φ
)
+
e
−
λ
x
(
cos
(
ω
x
+
φ
)
)
′
)
Soit :
f
′
(
x
)
=
A
×
(
(
−
λ
x
)
′
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
−
e
−
λ
x
(
ω
x
+
φ
)
′
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
=
A
×
(
−
λ
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
−
e
−
λ
x
ω
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
f'(x) = A \times \left(\left(-\lambda x\right)'e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) - e^{-\lambda x} \, (\omega x + \varphi)'\sin(\omega x + \varphi)\right) = A \times \left(-\lambda \, e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) - e^{-\lambda x} \, \omega \, \sin(\omega x + \varphi)\right)
f
′
(
x
)
=
A
×
(
(
−
λ
x
)
′
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
−
e
−
λ
x
(
ω
x
+
φ
)
′
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
=
A
×
(
−
λ
e
−
λ
x
cos
(
ω
x
+
φ
)
−
e
−
λ
x
ω
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
En factorisant par le terme
e
−
λ
x
e^{-\lambda x}
e
−
λ
x
on obtient :
f
′
(
x
)
=
A
e
−
λ
x
(
−
λ
cos
(
ω
x
+
φ
)
−
ω
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
f'(x) = A \, e^{-\lambda x} \, \left(-\lambda \, \cos(\omega x + \varphi) - \omega \, \sin(\omega x + \varphi)\right)
f
′
(
x
)
=
A
e
−
λ
x
(
−
λ
cos
(
ω
x
+
φ
)
−
ω
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
Finalement, on trouve que :
f
′
(
x
)
=
d
f
d
x
(
x
)
=
−
A
e
−
λ
x
(
λ
cos
(
ω
x
+
φ
)
+
ω
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
f'(x) = \dfrac{d\,f}{dx}(x) = - A \, e^{-\lambda x} \, \left(\lambda \, \cos(\omega x + \varphi) + \omega \, \sin(\omega x + \varphi)\right)
f
′
(
x
)
=
d
x
d
f
(
x
)
=
−
A
e
−
λ
x
(
λ
cos
(
ω
x
+
φ
)
+
ω
sin
(
ω
x
+
φ
)
)
C'est une dérivation que l'on retrouve en Physique dans le domaine des oscillations.