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Calcul d'une fonction dérivée - Exercice 1

20 min
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Question 1

Soit aa un nombre réel non nul. On se propose l'expression fonctionnelle suivante :
f(x)=ln⁡(x+x2+a2)f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})
Déterminer l'expression de la dérivée f′f'.

Correction
On a :
f′(x)=(ln⁡(x+x2+a2))′=(x+x2+a2)′x+x2+a2=(x)′+(x2+a2)′x+x2+a2=1+(x2+a2)′2x2+a2x+x2+a2=1+2x2x2+a2x+x2+a2=1+xx2+a2x+x2+a2=x2+a2x2+a2+xx2+a2x+x2+a2f'(x) = \left(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) \right)' = \dfrac{\left(x + \sqrt{x^2 + a^2} \right)'}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{(x)' + \left(\sqrt{x^2 + a^2} \right)'}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{1 + \dfrac{(x^2 + a^2)'}{2\sqrt{x^2 + a^2}}}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + a^2}}}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2 + a^2}}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}}{x + \sqrt{x^2 + a^2}}
Ce qui nous donne donc :
f′(x)=x2+a2+xx2+a2x+x2+a2=x2+a2+xx2+a2x+x2+a21=x2+a2+xx2+a2×1x+x2+a2f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}}}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}}}{\dfrac{x + \sqrt{x^2 + a^2}}{1}} = \dfrac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \times \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}}
En simplifiant par le terme non nul x+x2+a2x + \sqrt{x^2 + a^2}, on trouve finalement que :
f′(x)=1x2+a2f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}