Vérification d'une égalité mais sans utiliser la dérivation - Exercice 1

Soit $$x \in \mathbb{R}$$.
Notons par $$A = \arctan \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$$.
Comme $$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \sqrt{1 + x^2} - x > 0$$ cela implique que $$A = \arctan \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right) \in \left] 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2}\right[$$. Ainsi :
$$\tan(A) = \tan \left( \arctan \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right) \right) = \sqrt{1 + x^2} - x$$
Ceci implique que :
$$\left( \tan(A) \right)^2 = \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left( \tan(A) \right)^2 = 1 + x^2 - 2x\sqrt{1 + x^2} + x^2$$
Donc :
$$\left( \tan(A) \right)^2 = 1 + 2x^2 - 2x\sqrt{1 + x^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 + \left( \tan(A) \right)^2 = 2 + 2x^2 - 2x\sqrt{1 + x^2}$$
Ceci s'écrit également :
$$1 + \left( \tan(A) \right)^2 = 2\left(1 + x^2\right) - 2x\sqrt{1 + x^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 + \left( \tan(A) \right)^2 = 2\left(\sqrt{1 + x^2}\right)^2 - 2x\sqrt{1 + x^2}$$
On a alors :
$$1 + \left( \tan(A) \right)^2 = 2\sqrt{1 + x^2} \left( \sqrt{1 + x^2}- x \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 + \left( \tan(A) \right)^2 = 2 \left( \tan(A) + x \right)\left( \tan(A) \right)$$
De ce fait, on en déduit que :
$$\dfrac{1 + \left( \tan(A) \right)^2}{\tan(A)} = 2 \left( \tan(A) + x \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1 + \left( \tan(A) \right)^2}{2\tan(A)} = \tan(A) + x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1 + \left( \tan(A) \right)^2}{2\tan(A)} - \tan(A) = x$$
Ceci nous donne donc :
$$\dfrac{1 + \left( \tan(A) \right)^2}{2\tan(A)} - \dfrac{\left( 2\tan(A) \right)^2}{2\tan(A)} = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1 + \left( \tan(A) \right)^2 - 2\left( \tan(A) \right)^2}{2\tan(A)} =x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1 - \left( \tan(A) \right)^2 }{2\tan(A)} = x$$
On peut écrire ceci sous la forme suivante :
$$\dfrac{1 - \left( \dfrac{\sin(A)}{\cos(A)} \right)^2 }{2 \dfrac{\sin(A)}{\cos(A)}} = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{ \left( \dfrac{\cos(A)}{\cos(A)} \right)^2 - \left( \dfrac{\sin(A)}{\cos(A)} \right)^2 }{2 \dfrac{\sin(A)}{\cos(A)}} = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{ \dfrac{\cos^2(A) - \sin^2(A)}{\cos^2(A)} }{2 \dfrac{\sin(A)}{\cos(A)}} = x$$
On obtient :
$$\dfrac{ \dfrac{\cos^2(A) - \sin^2(A)}{\cos(A)} }{2 \sin(A)} = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{ \cos^2(A) - \sin^2(A) }{2 \sin(A) \cos(A)} = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{ \cos^2(A) - \sin^2(A) }{2 \sin(A) \cos(A)} = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{ \cos(2A) }{\sin(2A)} = x$$
Soit :
$$\mathrm{cotan}(2A) = x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \tan\left( \dfrac{\pi}{2} - 2A \right) = x$$
Or, on sait que $$A \in \left] 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2}\right[$$ donc $$2A \in \left] 0 \,;\, \pi\right[$$ et $$-2A \in \left] -\pi \,;\, 0 \right[$$. Ceci nous apprend donc que $$\dfrac{\pi}{2} - 2A \in \left] -\dfrac{\pi}{2} \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right[$$.
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\arctan \left( \tan\left( \dfrac{\pi}{2} - 2A \right) \right) = \arctan(x) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\pi}{2} - 2A = \arctan(x) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, - 2A = \arctan(x) -\dfrac{\pi}{2}$$
On a alors :
$$- A = \dfrac{1}{2} \arctan(x) - \dfrac{\pi}{4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = - \dfrac{1}{2} \arctan(x) + \dfrac{\pi}{4}$$
Finalement, comme nous avions initialement posé $$A = \arctan \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$$, on obtient donc :