Relations fondamentales $$\left(1\right)$$ - Exercice 1

On remarque que $$\frac{\pi}{3}\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$$ ainsi :
$$A={\mathrm{arcsin} \left({\mathrm{sin} \left(\frac{\pi}{3}\right)\ }\right)\ }$$ équivaut successivement à :

On remarque que $$\frac{7\pi}{6}\notin \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$$ .
Or $${\mathrm{sin} \left(\frac{7\pi}{6}\right)\ }={\mathrm{sin} \left(-\frac{\pi}{6}\right)\ }$$
Ainsi :
$$B={\mathrm{arcsin} \left({\mathrm{sin} \left(\frac{7\pi}{6}\right)\ }\right)\ }$$ équivaut successivement à :
$$B={\mathrm{arcsin} \left({\mathrm{sin} \left(-\frac{\pi}{6}\right)\ }\right)\ }$$

On remarque que $$\frac{\pi}{4}\in \left[0;\pi\right]$$ ainsi :
$$C={\mathrm{arccos} \left({\mathrm{cos} \left(\frac{\pi}{4}\right)\ }\right)\ }$$ équivaut successivement à :

On remarque que $$\frac{4\pi}{3}\notin \left[0;\pi\right]$$ .
Or $${\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi}{3}\right)\ }={\mathrm{cos} \left(\frac{2\pi}{3}\right)\ }$$
Ainsi :
$$D={\mathrm{arccos} \left({\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi}{3}\right)\ }\right)\ }$$ équivaut successivement à :
$$D={\mathrm{arccos} \left({\mathrm{cos} \left(\frac{2\pi}{3}\right)\ }\right)\ }$$

On remarque que $$\frac{\pi}{6}\in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$$ ainsi :
$$E={\mathrm{arctan} \left({\mathrm{tan} \left(\frac{\pi}{6}\right)\ }\right)\ }$$ équivaut successivement à :

On remarque que $$\frac{11\pi}{3}\notin \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$$ .
Or $${\mathrm{tan} \left(\frac{11\pi}{3}\right)\ }={\mathrm{tan} \left(-\frac{\pi}{3}\right)\ }$$
Ainsi :
$$F={\mathrm{arctan} \left({\mathrm{tan} \left(\frac{11\pi}{3}\right)\ }\right)\ }$$ équivaut successivement à :
$$F={\mathrm{arctan} \left({\mathrm{tan} \left(-\frac{\pi}{3}\right)\ }\right)\ }$$

On vérifie facilement que : $$\frac{\sqrt{2}}{2}\le \frac{8}{9}\le 1$$
Or $$f:x\longmapsto {\mathrm{arccos} \left(x\right)\ }$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$$ .
Il vient alors que :
$${\mathrm{arccos} \left(1\right)\ }\le {\mathrm{arccos} \left(\frac{8}{9}\right)\ }\le {\mathrm{arccos} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ }$$
$$0\le {\mathrm{arccos} \left(\frac{8}{9}\right)\ }\le \frac{\pi }{4}$$
Finalement :

$$G={\mathrm{cos} \left({\mathrm{arccos} \left(-\frac{3}{5}\right)\ }\right)\ }$$
Dans notre cas, nous avons $$-\frac{3}{5}\in\left[-1;1\right]$$
D'où :

$$H={\mathrm{sin} \left({\mathrm{arc}\mathrm{sin} \left(\frac{2\pi }{5}\right)\ }\right)\ }$$
On vérifie facilement que $$\frac{2\pi }{5}\approx1,25$$ et de ce fait $$\frac{2\pi }{5}\notin\left[-1;1\right]$$
Il en résulte donc que la valeur de $$H$$ n'a pas de sens mathématique !

$$I={\mathrm{tan} \left({\mathrm{arc}\mathrm{tan} \left(\sqrt{2}\right)\ }\right)\ }$$
Dans notre cas, nous avons $$\sqrt{2}\in \mathbb{R}$$
D'où :