Premier problème classique avant le devoir sur table - Exercice 1
40 min
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Soit x un nombre réel. On pose f(x)=arcsin(1+x2x).
Question 1
Déterminer l'ensemble de définition Df.
Correction
La fonction f:x⟼f(x)=arcsin(1+x2x) existe si : −1⩽1+x2x⩽1 Soit : −1+x2⩽x⩽1+x2 Cette double inégalité est vérifiée pour tout les nombres réels x. Donc, on en déduit que la fonction f existe sur R tout entier. Donc : Df=R
Question 2
Déterminer, par dérivation, une expression simplifiée de f.
Correction
La fonction arcsin n'est pas dérivable en ±1. Mais le terme 1+x2x est toujours différents de ±1. Donc la fonction f est dérivable sur l'intervalle R. On a alors : ∀x∈R,f′(x)=(arcsin(1+x2x))′ Soit : ∀x∈R,f′(x)=(1+x2x)′×1−(1+x2x)21 Soit encore : ∀x∈R,f′(x)=(1+x2)2x′1+x2−x(1+x2)′×1−1+x2x21 Ce qui nous donne : ∀x∈R,f′(x)=1+x211+x2−x21+x2(1+x2)′×1+x21+x2−1+x2x21 On obtient donc : ∀x∈R,f′(x)=1+x21+x2−x21+x22x×1+x21+x2−x21 D'où : ∀x∈R,f′(x)=1+x21+x2−1+x2x2×1+x211 Ceci prend également la forme suivante : ∀x∈R,f′(x)=(1+x2)21+x21+x2−1+x2x2×1+x2 En regroupant les termes : ∀x∈R,f′(x)=(1+x2)21+x21+x2−x2×1+x2 Puis en simplifiant : ∀x∈R,f′(x)=1+x21+x21 D'où ∀x∈R,f′(x)=1+x21+x21 Finalement, on trouve que : ∀x∈R,f′(x)=1+x21 Nous allons donc pouvoir écrire que : ∀x∈R,f′(x)=(arctan(x))′ Ainsi, avec K∈R, on en déduit immédiatement que : ∀x∈R,f(x)=arctan(x)+K Qui s'écrit aussi sous la forme : ∀x∈R,arcsin(1+x2x)=arctan(x)+K Posons maintenant x=0∈R. On a alors : arcsin(1+020)=arctan(0)+K⟺arcsin(0)=arctan(0)+K⟺0=0+K⟺0=K Ce qui nous donne le résultat final suivant :
∀x∈R,arcsin(1+x2x)=arctan(x)
Question 3
Retrouver, par une méthode directe (ne faisant pas intervenir la dérivation), l'expression simplifiée de f.
Correction
On pose S=arcsin(1+x2x) avec x∈R. Comme on a toujours −1<1+x2x<1 cela implique que : −2π<S=arcsin(1+x2x)<2π. De plus, on a : sin(S)=sin(arcsin(1+x2x)) Et d'après ce qui précède on peut donc écrire que : sin(S)=1+x2x⟹(sin(S))2=(1+x2x)2 Donc : sin2(S)=1+x2x2⟺(1+x2)sin2(S)=x2⟺sin2(S)+x2sin2(S)=x2⟺sin2(S)=x2−x2sin2(S) De fait : sin2(S)=x2(1−sin2(S))⟺sin2(S)=x2cos2(S)⟺cos2(S)sin2(S)=x2⟺tan2(S)=x2 Ceci nous donne donc : tan(S)=±x De plus x et S=arcsin(1+x2x) sont de même signe puisque arcsin est impair et que 1+x2>0. Puis, comme −2π<S=arcsin(1+x2x)<2π on en déduit que S et tan(S) sont de même signe. On en déduit alors que x et tan(S) sont de même signe. De fait on va pouvoir écrire que : tan(S)=x On a donc : arctan(tan(S))=arctan(x) Comme −2π<S=arcsin(1+x2x)<2π on en déduit immédiatement que : S=arctan(x) Finalement :