Séries numériques et généralités

$$\color{red}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Séries numériques et généralités}}$$
On désigne par $$\mathbb{K}$$ l'ensemble $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$ ou une partie de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. Les éléments de $$\mathbb{K}$$ s'appellent des scalaires.
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \,\, \textbf{Définitions}}$$
On note par $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite d'éléments de $$\mathbb{K}$$.
On appelle $$\color{red}{\textbf{série}}$$ de terme général $$a_n$$ , le couple de suites $$\big( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \,;\, (s_n)_{n \in \mathbb{N}} \big)$$ où $$s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$$.
La suite $$(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ s'appelle la suite des somme partielles de la série de terme général $$a_n$$.
On dit que la série converge sui la suite $$(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge. Dans le cas contraire, on dit que la série diverge.
Lorsque la série converge la quantité $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} s_n$$ s'appelle la somme de cette série, et se note :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} s_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$
$$-$$ Bien souvent, pour des raisons de simplifications, on note $$\sum_{i=0}^{\infty} a_i$$ la série de terme général $$a_i$$ sans savoir si elle converge ou non. Conformément à cet usage, nous utiliserons cette notation.
$$-$$ Comme pour les suites, il est possible de modifier la définition d'une série en considérant des sommes du type $$\sum_{n=n_0}^{\infty} a_n$$ avec $$n_0 \in \mathbb{N}^{\star}$$.
Si une série $$\sum_{i=0}^{\infty} a_i$$ converge alors, $$\forall n\in \mathbb{N}$$, la série $$R_n = \sum_{i=n+1}^{\infty} a_i$$ converge également, et on a alors $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} R_n = 0$$.
La série $$R_n$$ s'appelle le reste d'ordre $$n$$ de la série $$\sum_{i=0}^{\infty} a_i$$.
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \,\, \textbf{Somme de séries}}$$
Soient $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ et $$\sum_{n=0}^{\infty} b_n$$ deux séries de nombres réels ou complexes. On désigne par $$\lambda$$ un scalaire.
On appelle somme des séries $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ et $$\sum_{n=0}^{\infty} b_n$$ la série $$\sum_{n=0}^{\infty} ( a_n + b_n)$$
Si les deux séries $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ et $$\sum_{n=0}^{\infty} b_n$$ sont convergentes alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} ( a_n + b_n)$$ est également convergente on a :
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n = \sum_{n=0}^{\infty} ( a_n + b_n)$$
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Produit de série par un scalaire}}$$
Soit $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ une série de nombres réels ou complexes. On désigne par $$\lambda$$ un scalaire.
On appelle produit de la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ par le scalaire $$\lambda$$ la série $$\sum_{n=0}^{\infty} ( \lambda a_n )$$
Si la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est convergente alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} ( \lambda a_n )$$ est également convergente on a :
$$\sum_{n=0}^{\infty} ( \lambda a_n ) = \lambda \sum_{n=0}^{\infty} a_n$$
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Théorème sur la convergence d'une série et la convergence d'une intégrale}}$$
Soit $$a$$ un nombre entier naturel. Soit $$f : [a \,;\ + \infty[ \longrightarrow \mathbb{R}$$ une fonction numérique continue, positive et décroissante. Dans ce cas, l'intégrale $$\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$$ et la série $$\sum_{n=a}^{+\infty} f(n)$$ sont de même nature.
Ceci nous permet d'obtenir le théorème suivant relatif aux séries de Riemann $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}$$, avec $$\alpha \in \mathbb{R}$$.
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Théorème sur la convergence des séries de Riemann}}$$
La série de Riemann $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}$$ converge si et seulement si $$\alpha > 1$$.

$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Le critère de Cauchy}}$$
Ce critère donne une condition nécessaire et suffisante de convergence d'une série de termes réels ou complexes, sans qu'on en connaise sa limite. Il s'énonce ainsi :
Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$ une série de nombres réels ou complexes. Cette série converge si et seulement si elle satisfait à l'assertion suivante :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \exist N \in \mathbb{N}, \,\ p \geqslant N, \,\, q \geqslant p \, \Longrightarrow \, \left\vert \sum_{i=p}^{+\infty} a_i \right\vert < \varepsilon$$
Les nombres réels ou complexes $$\sum_{i=p}^{+\infty} a_i$$ sont appelés les $$tranches \, de \, Cauchy$$ de la série.
On a alors le $$\color{black}\bf{corollaire}$$ suivant : le terme général d'une série convergente tend vers $$0$$ lorsque $$n$$ tend vers l'infini.
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Convergence abolue}}$$
$$\color{green}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Définition}}$$
On dit que la série de terme général $$a_n$$ est absolument convergente si la série de terme général $$|\, a_n \,|$$ converge.
De fait, $${\color{red}{\textbf{toute série absolument convergente est convergente}}}$$.
La réciproque de ce résultat est fausse. Il suffit de considérer le cas de la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n}$$ qui converge alors que la série (dite harmonique) $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}$$ qui diverge.
$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Série géométrique}}$$
$$\color{green}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Définition}}$$
Soit $$r$$ un nombre complexe. La série géométrique de raison $$r$$ est la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} r^n$$
$$\color{green}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Théorème}}$$
La série géométrique de raison $$r$$ converge si et seulement si $$|\, r \,| < 1$$. Dans ce cas sa somme vaut $$\dfrac{1}{1-r}$$.

$$\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\,\, \textbf{Série semi-convergente}}$$
Une série de terme général $$a_n$$ est dite $${\color{red}{\textbf{semi-convergente}}}$$ si la série converge mais ne converge pas absolument : $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$ converge mais $$\sum_{n=0}^{+\infty} | \, a_n \, |$$ diverge.