Séries à termes positives (Séries de Riemann ; Séries de Bertrand ; Règle de d'Alembert ; Règle de Raabe & Duhamel ; Règle de Cauchy )

$${\color{red}{\textbf{Séries à termes positifs}}}$$
$${\color{blue}{\blacksquare \,\, \textbf{Techniques de comparaison}}}$$
Soit $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de nombres réels positifs.
La propriété fondamentale qui permet d'étudier la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est la croissance de la suite des sommes partielles, notée $$(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$$.
$${\color{red}{\top \,\, \textbf{Théorème \, :}}}$$ $${\color{red}{\textit{Une série à terme positifs est convergente si la suite de ses sommes partielles est bornée.}}}$$
Pour invoquer l'usage de ce théorème, il faut impérativement que les termes de la série étudiée soient positifs. L'exemple de $$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$$ illustre cette nécessité. En effet cette série est bornée par $$1$$ et $$-1$$, ainsi que ses sommes partielles, mais elle ne converge pas.
Soient $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ et $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ deux suites de nombres réels positifs telles que, $$\forall n \in \mathbb{N}$$, $$a_n \leqslant b_n$$. Dans ces conditions :
- Si la série de terme général $$a_n$$ diverge alors la série de terme général $$b_n$$ diverge également.
- Si la série de terme général $$b_n$$ converge alors la série de terme général $$a_n$$ converge également.
Ces résultats sont également vérifiées si la convergence se réalise à partir d'un certain rang.
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \,\, \textbf{Séries de termes généraux équivalents}}}$$
$${\color{red}{\top \,\, \textbf{Théorème \, :}}}$$ $${\color{red}{\textit{Si les suites de nombres réels}}}$$ $${\color{red}{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$$ $${\color{red}{et}}$$ $${\color{red}{(b_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$$ $${\color{red}{\textit{sont équivalentes alors les deux séries}}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}}$$ $${\color{red}{et}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} b_n}}$$ $${\color{red}{\textit{sont de même nature.}}}$$
Ce qui est important dans ce théorème c'est que les termes soient toujours de même signe.
$${\color{red}{\top \,\, \textbf{Théorème \, :}}}$$ $${\color{red}{\textit{Si les deux suites de nombres réels}}}$$ $${\color{red}{(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$$ $${\color{red}{et}}$$ $${\color{red}{(b_n)_{n \in \mathbb{N}}}}$$ $${\color{red}{\textit{sont telles que}}}$$ $${\color{red}{a_n = o(b_n)}}$$ $${\color{red}{\textit{et si la série}}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} b_n}}$$ $${\color{red}{\textit{est de nature convergente, alors la série}}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}}$$ $${\color{red}{\textit{est elle aussi de nature convergente.}}}$$
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, \textbf{Comparaison avec une série de Riemann}}}$$
$${\color{green}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, \textbf{Le critène}}}$$ $${\color{green}{n^\alpha a_n}}$$
On a ale théorème suivant :
$${\color{red}{\top \,\, \textbf{Théorème \, :}}}$$ $${\color{red}{\textit{On considère la série à terme positifs}}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}}$$. $${\color{red}{\textit{On suppose qu'il existe un nombre réel}}}$$ $${\color{red}{\alpha}}$$ $${\color{red}{\textit{tel que}}}$$ $${\color{red}{\lim_{n \longrightarrow +\infty} n^\alpha a_n = \ell \in \mathbb{R}}}$$. $${\color{red}{\textit{Dans ce cas :}}}$$
$${\color{red}{\textit{- Si}}}$$ $${\color{red}{\alpha > 1}}$$ $${\color{red}{\textit{alors la série}}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}}$$ $${\color{red}{\textit{est de nature convergente.}}}$$
$${\color{red}{\textit{- Si}}}$$ $${\color{red}{\alpha \leqslant 1}}$$ $${\color{red}{\textit{alors la série}}}$$ $${\color{red}{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}}$$ $${\color{red}{\textit{est de nature divergente.}}}$$
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, \textbf{Les séries de Bertrand}}}$$
Une série de $$Bertrand$$ (Joseph Bertrand, 1822 - 1900) est une série dont le terme général est de la forme $$\dfrac{1}{n^\alpha\big( \ln(n) \big)^\beta}$$, avec $$n \geqslant 2$$ et les nombres $$\alpha$$ et $$\beta$$ sont deux réels. Dans ces conditions :
- si $$\alpha = 1$$ et si $$\beta > 1$$ alors cette série converge.
- si $$\alpha > 1$$ alors cette série converge.
- dans tous les autres cas cette série diverge.
Les séries de $$Bertrand$$ sont, très souvent, des séries de références. On détermine la nature d'une série en montrant qu'elle est équivalente, majorée ou minorée par une série de $$Bertrand$$.
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, \textbf{Règles classiques}}}$$
$${\color{green}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, \textbf{Comparaison avec une série géométrique}}}$$
Soient les deux suites de nombres réels strictement positifs $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ et $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$. On suppose que, à partir d'un certain rang $$n$$, on a l'inégalité $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$$. Dans ce cas :
- si la série $$\sum_{n=0}^{\infty} b_n$$ converge alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ converge également.
- si la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ diverge alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} b_n$$ converge également.
On a également la $${\color{black}{\textbf{proposition}}}$$ suivante :
$${\color{black}{\textit{Soit}}}$$ $${\color{black}{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}}$$ $${\color{black}{\textit{une série à terme positifs et }}}$$ $${\color{black}{k \in [0\,;\,1[.}}$$ $${\color{black}{\textit{On suppose que, }}}$$ $${\color{black}{\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant k.}}$$ $${\color{black}{\textit{Dans ce cas la série converge. }}}$$
$${\color{green}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, \textbf{Règle de d'Alembert}}}$$
Soit $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ une série dont les termes $$a_n$$ sont tous des nombres réels strictement positifs. On suppose que $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \ell \in \mathbb{R}^+$$
- Si $$0 \leqslant \ell < 1$$ alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est convergente.
- Si $$\ell > 1$$ alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est divergente.
- Si $$\ell = 1$$ alors on ne peut pas conclure.
$${\color{green}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, \textbf{Règle de Raabe \& Duhamel}}}$$
Soit $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ une suite dont les termes $$a_n$$ sont tous des nombres réels strictement positifs. On suppose qu'il existe $$\lambda \in \mathbb{R}$$ tel que $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \dfrac{\lambda}{n} + v_n$$
Dans cette relation, le terme $$v_n$$est le terme général d'une série absolument convergente.
Si $$\lambda > 1$$ alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est convergente. Dans les autre cas, la série série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est divergente.
$${\color{green}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, \textbf{Règle de Cauchy}}}$$
Soit $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ une série dont les termes $$a_n$$ sont tous des nombres réels positifs. On suppose que $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sqrt[n]{a_n} = \ell \in \mathbb{R}^+$$
- Si $$0 \leqslant \ell < 1$$ alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est convergente.
- Si $$\ell > 1$$ alors la série $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$$ est divergente.
- Si $$\ell = 1$$ alors on ne peut pas conclure.