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Rappels de cours - Partie 3 - Exercice 1

40 min
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Seˊries alterneˊes{\color{red}{\textbf{Séries alternées}}}
On appelle seˊrie alterneˊe une seˊrie reˊelle dont le terme geˊneˊral\textit{On appelle série alternée une série réelle dont le terme général} ana_n est de la forme \textit{est de la forme } an=(−1)n×αna_n = (-1)^n \times \alpha_n, ouˋ\textit{où} αn∈R+\alpha_n \in \mathbb{R}^+ et ceci pour tout entier naturel\textit{et ceci pour tout entier naturel} nn.
■      Le theˊoreˋme speˊcial des seˊries alterneˊes{\color{blue}{\blacksquare \,\,\,\,\,\, \textbf{Le théorème spécial des séries alternées}}}
Le théorème suivant constitue une condition suffisante pour qu'une série alternée soit de nature convergente.
⊤ Le theˊoreˋme speˊcial des seˊries alterneˊes{\color{red}{\top \, \textbf{Le théorème spécial des séries alternées}}}
Soit{\color{red}{\textit{Soit}}} ∑n=0+∞an{\color{red}{\sum_{n=0}^{+ \infty} a_n}} une seˊrie numeˊrique de terme geˊneˊral{\color{red}{\textit{une série numérique de terme général}}} an=−1)n×αn{\color{red}{a_n = -1)^n \times \alpha_n}} avec{\color{red}{\textit{avec}}} αn∈R+{\color{red}{\alpha_n \in \mathbb{R}^+}}.
−  Si la suite{\color{red}{- \,\, \textit{Si la suite}}} (αn)n∈N{\color{red}{(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}}} tend vers zeˊro en deˊcroissant alors la seˊrie{\color{red}{\textit{tend vers zéro en décroissant alors la série}}}
∑n=0+∞an{\color{red}{\sum_{n=0}^{+ \infty} a_n}} est de nature convergente{\color{red}{\textit{est de nature convergente}}}.
−  Dans ce cas, pour tout entier naturel{\color{red}{- \,\, \textit{Dans ce cas, pour tout entier naturel}}} n,{\color{red}{n},} le reste {\color{red}{\textit{le reste }}} Rn{\color{red}{R_n}} est du signe de son premier terme {\color{red}{\textit{est du signe de son premier terme }}} an+1{\color{red}{a_{n+1}}} et on a{\color{red}{\textit{et on a}}} ∣Rn∣⩽∣an+1∣.{\color{red}{| R_n | \leqslant |a_{n+1}|. }}
Il arrive parfois qu'une série alternée soit de convergence absolue. Dans ce cas, il est plus pratique et rapide de montrer l'absolue convergence car on étudie une série à termes positifs que de vérifier les hypothèses du théorème spécial des séries alternées.
■■      Le theˊoreˋme d’Abel (Niels Abel 1802 - 1829{\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \,\,\,\,\,\, \textbf{Le théorème d'Abel (Niels Abel 1802 - 1829}}}
Ce théorème repose sur la transformation d'Abel : une technique qui s'apparente à une version discrète de l'intégration par parties.
⊤ Le theˊoreˋme d’Abel{\color{red}{\top \, \textbf{Le théorème d'Abel}}}
Soit{\color{red}{\textit{Soit}}} ∑n=0+∞an{\color{red}{\sum_{n=0}^{+ \infty} a_n}} une seˊrie numeˊrique (ou complexe) de terme geˊneˊral{\color{red}{\textit{une série numérique (ou complexe) de terme général}}} an{\color{red}{a_n}} dont la suite des sommes partielles est borneˊe. C’est-aˋ-dire :{\color{red}{\textit{dont la suite des sommes partielles est bornée. C'est-à-dire :}}}
∀n∈N,  ∃M∈R,  ∣∑k=0nak∣⩽M{\color{red}{\forall n \in \mathbb{N}, \,\, \exists M \in \mathbb{R}, \,\, \left\vert \sum_{k=0}^{n} a_k \right\vert \leqslant M}}
Soit{\color{red}{\textit{Soit}}} (αn)n∈N{\color{red}{(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}}} une suite de nombres reˊels deˊcroissante et de limite nulle. Dans ce cas la seˊrie{\color{red}{\textit{une suite de nombres réels décroissante et de limite nulle. Dans ce cas la série}}} ∑n=0+∞αnan{\color{red}{\sum_{n=0}^{+ \infty} \alpha_n a_n}} est une seˊrie numeˊrique de nature convergente.{\color{red}{\textit{est une série numérique de nature convergente.}}}
■■■      La transformation d’Abel (Niels Abel 1802 - 1829{\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,\,\,\,\, \textbf{La transformation d'Abel (Niels Abel 1802 - 1829}}}
On pose, ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}, Sn=∑k=0nukS_n = \sum_{k=0}^{n} u_k. De fait, un+1=Sn+1−Sn=∑k=0n+1uk−∑k=0nuku_{n+1} = S_{n+1} - S_{n} = \sum_{k=0}^{n+1} u_k - \sum_{k=0}^{n} u_k.
Dans ce cas, pour p>n>1p > n > 1, on a :
αnun+αn+1un+1+⋯+αn+pun+p=αn(Sn−Sn−1)+αn+1(Sn+1−Sn)+⋯+αn+p(Sn+p−Sn+p−1)\alpha_n u_n + \alpha_{n+1} u_{n+1} + \cdots + \alpha_{n+p} u_{n+p} = \alpha_n \big( S_{n} - S_{n-1} \big) + \alpha_{n+1} \big( S_{n+1} - S_{n} \big) + \cdots + \alpha_{n+p} \big( S_{n+p} - S_{n+p-1} \big)
En développant :
αnun+αn+1un+1+⋯+αn+pun+p=αnSn−αnSn−1+αn+1Sn+1−αn+1Sn+⋯+αn+pSn+p−αn+pSn+p−1\alpha_n u_n + \alpha_{n+1} u_{n+1} + \cdots + \alpha_{n+p} u_{n+p} = \alpha_n S_{n} - \alpha_n S_{n-1} + \alpha_{n+1} S_{n+1} - \alpha_{n+1} S_{n} + \cdots + \alpha_{n+p} S_{n+p} - \alpha_{n+p} S_{n+p-1}
En regroupant selon les termes SnS_n on obtient :
αnun+αn+1un+1+⋯+αn+pun+p=−αnSn−1+αnSn−αn+1Sn+αn+1Sn+1+⋯+αn+pSn+p−αn+pSn+p−1\alpha_n u_n + \alpha_{n+1} u_{n+1} + \cdots + \alpha_{n+p} u_{n+p} = - \alpha_n S_{n-1} + \alpha_n S_{n} - \alpha_{n+1} S_{n} + \alpha_{n+1} S_{n+1} + \cdots + \alpha_{n+p} S_{n+p} - \alpha_{n+p} S_{n+p-1}
Ce qui nous donne :
αnun+αn+1un+1+⋯+αn+pun+p=−αnSn−1+(αn−αn+1Sn)+(αn+1−αn+2)Sn+1+⋯+(αn+p−1−αn+p)Sn+p−1+αn+pSn+p\alpha_n u_n + \alpha_{n+1} u_{n+1} + \cdots + \alpha_{n+p} u_{n+p} = \\ - \alpha_n S_{n-1} + \big( \alpha_n - \alpha_{n+1} S_{n} \big) + \big( \alpha_{n+1} - \alpha_{n+2} \big) S_{n+1} + \cdots + \big( \alpha_{n+p-1} - \alpha_{n+p} \big) S_{n+p-1} + \alpha_{n+p} S_{n+p}
Comme exemples, citons les trois séries ∑n=0+∞αneinα\sum_{n=0}^{+ \infty} \alpha_n e^{\mathsf{i} n\alpha}, ∑n=0+∞αncos⁡(nα)\sum_{n=0}^{+ \infty} \alpha_n \cos(n\alpha) et ∑n=0+∞αnsin⁡(nα)\sum_{n=0}^{+ \infty} \alpha_n \sin(n\alpha), avec α∈R \alpha \in \mathbb{R}, qui sont convergentes si (αn)n∈N(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite de nombres réels décroissante et de limite nulle. Le nombre i\mathsf{i} vérifie i2=−1\mathsf{i}^2 = -1 et la terme einαe^{\mathsf{i} n\alpha} n'est pas nul.
■■■■      La technique de l’eˊclatement{\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,\,\,\,\, \textbf{La technique de l'éclatement}}}
Cette technique consiste à deˊcomposer{\color{red}{\textbf{décomposer}}} le terme général d'une série en une somme{\color{red}{\textbf{en une somme}}} de suites (bien souvent à l'aide de développements limités) et à étudier la nature des séries ayant ces suites pour termes généraux.
Cette méthodes à ses limites. En effet, on ne pourra affirmer que la série initiale est de nature convergente que si toutes les séries issues de l'éclatement sont de nature convergente.
On utilise cette technique de l'éclatement dans le cas des séries alternées qui ne vérifient pas les hypothèses du théorème spécial des séries alternées.
Question 1
Quelques exemples pour travailler les bons reflexes.

Soit nn un nombre entier naturel non nul. Étudier la nature de la série numérique S=∑n=1+∞(−1)nnS = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.

Correction
On applique le théorème spécial des séries alternées.
A cet usage, on pose un=(−1)nnu_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, ce qui implique ∣un∣=1n|u_n| = \dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Comme nn est un nombre entier naturel non nul, on constate que (∣un∣)n∈N(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}} est une suite décroissante et que l'on a :
lim⁡n⟶+∞∣un∣=lim⁡n⟶+∞1n=0\lim_{n \longrightarrow + \infty} |u_n| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0
De fait la série S=∑n=1+∞(−1)nnS = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} satisfait bien aux hypothèses du théorème spécial des séries alternées.
En conclusion, la S=∑n=1+∞(−1)nnS = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} est de nature convergente.
Question 2

Soit nn un nombre entier naturel non nul supérieur ou égal à 22. Étudier la nature de la série numérique S=∑n=1+∞(−1)nn+(−1)nS = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}.

Correction
Soit nn un nombre entier naturel non nul supérieur ou égal à 22. De fait, la série SS est bien alternée.
On pose un=(−1)nn+(−1)nu_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} et comme n⩾2n \geqslant 2, on a ∣un∣=1n+(−1)n\left\vert u_n \right\vert = \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n}.
On constate alors que :
lim⁡n⟶+∞∣un∣=lim⁡n⟶+∞1n+(−1)n=lim⁡n⟶+∞1n=0\lim_{n \longrightarrow + \infty} |u_n| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n} =\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0
Il nous faut maintenant étudier monotonie décroissante de la suite (∣un∣)n∈N ∩ n⩾2(|u_n|)_{n \in \mathbb{N} \, \cap \, n \geqslant 2}. Pour ce faire étudions la signe de la quantité numérique ∣un+1∣−∣un∣|u_{n+1}| - |u_n|. On a :
∣un+1∣−∣un∣=1n+1+(−1)n+1−1n+(−1)n|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + (-1)^{n+1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n}
Soit :
∣un+1∣−∣un∣=n+(−1)n(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)−n+1+(−1)n+1(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{\sqrt{n} + (-1)^n}{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)} - \dfrac{\sqrt{n+1} + (-1)^{n+1}}{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)}
Soit encore :
∣un+1∣−∣un∣=n+(−1)n−(n+1+(−1)n+1)(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{\sqrt{n} + (-1)^n - \left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right)}{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)}
D'où :
∣un+1∣−∣un∣=n+(−1)n−n+1−(−1)n+1(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{\sqrt{n} + (-1)^n - \sqrt{n+1} - (-1)^{n+1} }{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)}
Donc :
∣un+1∣−∣un∣=n+(−1)n−n+1+(−1)n(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{\sqrt{n} + (-1)^n - \sqrt{n+1} + (-1)^{n} }{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)}
Ainsi :
∣un+1∣−∣un∣=n−n+1+2(−1)n(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1} + 2(-1)^{n} }{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)}
Cependant, à l'aide de l'expression conjuguée, on peut écrire que :
n−n+1=n−n+1×1=n−n+1×n+n+1n+n+1=n2−n+12n+n+1=n−(n+1)n+n+1\sqrt{n} - \sqrt{n+1} = \sqrt{n} - \sqrt{n+1} \times 1 = \sqrt{n} - \sqrt{n+1} \times \dfrac{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \dfrac{\sqrt{n}^2 - \sqrt{n+1}^2}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \dfrac{n - (n+1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}
Soit :
n−n+1=n−n−1n+n+1=−1n+n+1\sqrt{n} - \sqrt{n+1} = \dfrac{n - n-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \dfrac{ - 1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}
On obtient alors :
∣un+1∣−∣un∣=−1n+n+1+2(−1)n(n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)|u_{n+1}| - |u_n| = \dfrac{ \dfrac{- 1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} + 2(-1)^{n} }{\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right)}
On constate que le dénominateur (n+1+(−1)n+1)(n+(−1)n)\left( \sqrt{n+1} + (-1)^{n+1} \right) \left( \sqrt{n} + (-1)^n\right) est toujours positif car nn est un nombre entier naturel non nul supérieur ou égal à 22. Puis, au numérateur, le terme −1n+n+1\dfrac{- 1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} est négatif mais, en valeur absolue, inférieur à ∣2(−1)n∣=2|2(-1)^{n}| = 2. Ainsi le terme ∣un+1∣−∣un∣|u_{n+1}| - |u_n| est du même signe que (−1)n(-1)^{n}.
On constate alors que la suite (∣un∣)n∈N ∩ n⩾2(|u_n|)_{n \in \mathbb{N} \, \cap \, n \geqslant 2} n'est pas monotone et elle n'est pas strictement décroissante.
La série S=∑n=1+∞(−1)nn+(−1)nS = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} ne satisfait donc pas aux hypothèses du théorème spécial des séries alternées. Il n'est pas possible de conclure à sa convergence.
Essayons alors un développement asymptotique lorsque n⟶+∞n \longrightarrow + \infty du terme un=(−1)nn+(−1)nu_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}. On a alors :
un=(−1)nn+(−1)n=(−1)nn(1+(−1)nn)=(−1)nn(1+(−1)nn)−1u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} \left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)^{-1}
Donc, au premier ordre en 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}, on obtient :
un=n⟶+∞(−1)nn(1−(−1)nn+o(1n))u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \left( 1 - \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + o\left( \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \right)
D'où l'équivalence :
un∼n⟶+∞(−1)nn−((−1)nn)2u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \left(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)^2
Ce qui nous donne :
un∼n⟶+∞(−1)nn−1nu_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{n}
La série de terme général (−1)nn\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} est convergente (d'après ce qui précède) mais la série de terme général 1n\dfrac{1}{n} est la série harmonique qui elle est divergente.
En conclusion, nous pouvons affirmer que la série numérique alternée S=∑n=1+∞(−1)nn+(−1)nS = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} est de nature divergente.