Exercice Entrainement 7 - Exercice 1

On a la comparaison somme-intégrale suivante :
$$\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \int_{1}^{n} \sqrt{k} \, dk \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} [k^{\frac{3}{2}} ]_{1}^{n} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}- \dfrac{2}{3}$$
Soit :
$$\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}$$
Ainsi :
$$\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3n^{-\frac{3}{2}}}$$
Donc, on peut écrire :
$$S_g = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{B} \left( \dfrac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}}}{n^\alpha} \right) \underset{+\infty}{\sim} \lim_{B \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{B} \dfrac{2}{3n^{-\frac{3}{2}}n^\alpha} \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} \lim_{B \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{B} \dfrac{1}{n^{\alpha \frac{3}{2}}}$$
Par comparaison avec une Série de \textit{Riemann}, on doit avoir la condition de convergence suivante :
$$\alpha -\frac{3}{2} > 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\alpha > 1 + \frac{3}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\alpha > \frac{5}{2}$$
Donc la de la série $$S_g$$ est $$\textbf{convergente}$$ uniquement si on a $$\alpha > \dfrac{5}{2}$$.