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Exercice Entrainement 6 - Exercice 1

20 min

Pour s'entrainer.

Question 1

Soit

n

un nombre entier naturel supérieur ou égal à

2

Déterminer la nature de la série suivante : $S_f = \sum_{n=2}^{+\infty} \left( \ln \left( n \right) \right)^{- \ln (n)}$

Correction

Pour la série numérique

S_f

, on a :

S_f = \sum_{n=2}^{+\infty} \left( \ln \left( n \right) \right)^{- \ln (n)} = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}}

D'où :

\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{1}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^2}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{e^{\ln(n^2)}}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{e^{2\ln(n)}}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}}

Soit encore :

\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{1}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{(e^{2})^{\ln(n)}}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{e^{2}}{ \ln \left( n \right)} \right)^{\ln(n)} = 0

Donc :

\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{1}{\left( \ln \left( n \right) \right)^{\ln (n)}} = 0

Comme la puissance est

2>1

et que le résultat est

0 \in \mathbb{R}^+

alors la série

S_f

\textbf{converge}