Exercice Entrainement 4 - Exercice 1

Pour la série $$S_d$$, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{n^2 \ln (n)}{e^n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n}$$
Or, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a $$n > \ln (n)$$, ce qui implique que :
$$\dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} < \dfrac{n^5}{e^n}\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} < \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^5}{e^n} = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} = 0$$
Par croissances comparées, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^5}{e^n} = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} = 0$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{n^2 \ln (n)}{e^n} = 0$$
Comme la puissance est $$2>1$$ et que le résultat est $$0 \in \mathbb{R}^+$$ alors la série $$S_d$$ $$\textbf{converge}$$.