Exercice 4 - Exercice 1

On désigne par $$I$$ l'intégrale généralisée suivante :
$$I = \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_{1}^{B} \dfrac{1}{x^2} \, dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{1}^{B} = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ \dfrac{1}{x} \right]_{B}^{1} = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{B} \right) = 1 - \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{B}$$
Donc :
$$I = 1 - 0^+ = 1$$
Donc l'intégrale $$I = \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx$$ est de nature convergente. Il en va de même pour la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$.
Finalement, la série $$V$$ est de nature convergente.

On constate que :
$$V = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \left\vert \dfrac{1}{n^2} \right\vert = \sum_{n=1}^{+\infty} \left\vert \dfrac{(-1)^n}{n^2} \right\vert$$.
Comme $$V$$ est convergente alors la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$$ est absolument convergente. Autrement dit la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$$ est absolument convergente.
On sait, d'après le cours, que toute série absolument convergente est automatiquement convergente.
En conclusion, la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$$ est de nature convergente.